同调代数中,蛇引理是构造长正合序列的关键工具,此引理在任何阿贝尔范畴中皆成立。依此构造的同态通常称作连结同态

叙述

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考虑一阿贝尔范畴 (例如阿贝尔群的范畴)中的交换图

 

使得每一横列均为正合序列。此时存在一个联系 的核与上核的正合序列:

 

此外,若 单射,则 亦然;若 满射,则 亦然。

引蛇出洞

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为了理解蛇引理的由来,观察下图:

 

并注意到:引理给出的正合序列可在此图中画成倒S状的蛇形。

构造连接同态

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核间的同态与上核间的同态很容易构造,它们由该图的交换性自然导出,正合性也可以直接代定义验证。重点在于连接同态 及序列在该处的正合性。

对于范畴的情形,同态 可如是构造:

选定 ,并视之为 的元素;由于 是满射,存在 满足 。由图的交换性,我们有

 (因为 

于是 。由于底部的横列正合,存在 使得 。置 。今须验证 是明确定义的,即 不依赖 之选取;此外尚须验证它是个同态,及序列的正合性。

一旦完成以上几点验证,即证明了此引理在模范畴的情形。对一般情形,可利用核与上核的泛性;此外也能使用Mitchell嵌入定理,此定理断言任一阿贝尔范畴都能迁入某个环  -模范畴。

函子性

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在应用上,我们常常需要长正合列的“函子性”或曰“自然性”(就自然变换意义言之);各种建构的函子性也是同调代数的基本哲学。此函子性可由蛇引理的函子性导出。

交换图

 

的横列均为正合,则可利用蛇引理两次,一次在“前”一次在“后”,产生两条长正合序列;它们经由以下交换图相连系:

 

文献

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  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X