古典力学中,一个谐振子(英语:harmonic oscillator)乃一个系统,当其从平衡位置位移,会感受到一个恢复力
正比于位移
,并遵守虎克定律:
一个无阻尼弹簧 - 质量体系统构成一个简谐振子。
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
其中
是一个正值常数。
如果
是系统仅受的力,则系统称作简谐振子(简单和谐振子)。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或馀弦的振动,且振幅与频率都是常数(频率跟振幅无关)。
若同时存在一摩擦力正比于速度,则会存在阻尼现象,称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形,振动频率小于无阻尼情形,且振幅随著时间减小。
若同时存在跟时间相关的外力,谐振子则称作是受驱振子。
力学上的例子包括了单摆(限于小角度位移之近似)、连接到弹簧的质量体,以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子(electrical harmonic oscillator,参见RLC电路)。
简谐振子没有驱动力,也没有摩擦(阻尼),所以净力单纯为:
-
利用牛顿第二定律
-
则加速度 等于是 的二次微分导数:
-
若定义 ,则方程式可以写为如下:
-
可以观察到:
-
然后代回原式得到
-
-
积分可得
-
其中K是积分常数,设K = (A ω0)2
-
-
-
经过积分,结果(包括积分常数φ)为
-
并有一般解
-
其中振幅 以及相位 可透过初始条件来决定。
另外也可以将一般解写成
-
其中 的值与前面形式相比,偏移了 ;
又可以写作
-
其中 与 为透过初始条件决定的常数,以替代前面形式的 与 。
振动频率则为
-
动能为
- .
以及势能(位能)为
-
所以系统总能为定值:
-
一受驱谐振子满足如下非齐次(nonhomogeneous)二阶线性微分方程
- ,
其中 是驱动振幅而 是驱动频率,针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC(电感L-电容C)电路以及理想化的弹簧系统(没有内部力学阻力或外部的空气阻力)。
一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程
- ,
其中 是由实验决定的阻尼常数,满足关系式 。遵守此方程式的系统,其中一例为置于水中的加权弹簧(weighted spring),若假设水所施的阻尼力与速度 呈线性比例关系。
阻尼谐振子的频率为
-
其中
- 。
受驱阻尼振子满足方程式
- 。
其一般解为两个解的和,一为暂态解(无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解),与初始条件相关;另一为稳态解(非齐次常微分方程式之特殊解),与初始条件无关,只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。
稳态解为
-
其中
-
为阻抗(impedance)或线性响应函数(linear response function)之绝对值
-
而
-
为相对于驱动力(相位定为0)的振动相位。
可以观察到,当在某特定驱动频率 时,振子振动之振幅(相对于一给定之 )达到最大。这发生在频率为
-
之时,而此现象称之为(位移上的)共振。
总结来说,在稳态时,振动频率等同于驱动力的频率,但振动与驱动力在相位上有偏移;且振幅大小与驱动频率相关,当驱动频率与振动系统偏好(共振)频率相同时,振幅达到最大。
例子:RLC电路;电阻类比于阻尼。