經典力學中,一個諧振子(英語:harmonic oscillator)乃一個系統,當其從平衡位置位移,會感受到一個恢復力
正比於位移
,並遵守虎克定律:
一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
其中
是一個正值常數。
如果
是系統僅受的力,則系統稱作簡諧振子(簡單和諧振子)。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動,且振幅與頻率都是常數(頻率跟振幅無關)。
若同時存在一摩擦力正比於速度,則會存在阻尼現象,稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形,振動頻率小於無阻尼情形,且振幅隨着時間減小。
若同時存在跟時間相關的外力,諧振子則稱作是受驅振子。
力學上的例子包括了單擺(限於小角度位移之近似)、連接到彈簧的質量體,以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator,參見RLC電路)。
簡諧振子沒有驅動力,也沒有摩擦(阻尼),所以淨力單純為:
-
利用牛頓第二定律
-
則加速度 等於是 的二次微分導數:
-
若定義 ,則方程式可以寫為如下:
-
可以觀察到:
-
然後代回原式得到
-
-
積分可得
-
其中K是積分常數,設K = (A ω0)2
-
-
-
經過積分,結果(包括積分常數φ)為
-
並有一般解
-
其中振幅 以及相位 可透過初始條件來決定。
另外也可以將一般解寫成
-
其中 的值與前面形式相比,偏移了 ;
又可以寫作
-
其中 與 為透過初始條件決定的常數,以替代前面形式的 與 。
振動頻率則為
-
動能為
- .
以及位能(位能)為
-
所以系統總能為定值:
-
一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程式
- ,
其中 是驅動振幅而 是驅動頻率,針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC(電感L-電容C)電路以及理想化的彈簧系統(沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力)。
一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程式
- ,
其中 是由實驗決定的阻尼常數,滿足關係式 。遵守此方程式的系統,其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring),若假設水所施的阻尼力與速度 呈線性比例關係。
阻尼諧振子的頻率為
-
其中
- 。
受驅阻尼振子滿足方程式
- 。
其一般解為兩個解的和,一為暫態解(無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程式的解),與初始條件相關;另一為穩態解(非齊次常微分方程式之特殊解),與初始條件無關,只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。
穩態解為
-
其中
-
為阻抗(impedance)或線性響應函數(linear response function)之絕對值
-
而
-
為相對於驅動力(相位定為0)的振動相位。
可以觀察到,當在某特定驅動頻率 時,振子振動之振幅(相對於一給定之 )達到最大。這發生在頻率為
-
之時,而此現象稱之為(位移上的)共振。
總結來說,在穩態時,振動頻率等同於驅動力的頻率,但振動與驅動力在相位上有偏移;且振幅大小與驅動頻率相關,當驅動頻率與振動系統偏好(共振)頻率相同時,振幅達到最大。
例子:RLC電路;電阻類比於阻尼。