质数间隙

质数间隙是指两个相邻质数间的差值。第n个质数间隙，标记为g_n 或g(p_n)，指第n个质数和第n+1个质数间的差值，即

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由质数间隙组成的数列(g_n) 已被广泛地研究，但仍有许多问题及猜想尚未获得解答。

前30个质数间隙为：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定义，可得g_n 及第n+1个质数的关系式如下：

p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}

.

张益唐在2013年证明：存在有无限多对质数，其间隙小于七千万；之后于同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精进版的GPY筛法将间隙改进至600，而由陶哲轩发起的Polymath计画将这数字降到246。^[1]

简单观察

第1个、最小，且唯一为奇数的质数间隙为1，是在“唯一一个偶质数2”与“第一个奇质数3”之间的质数间隙。剩下的其他质数间隙均为偶数。在3个相邻的质数间的1对质数间隙均为质数，只有在质数3、5及7之间的g₂ 及g₃ 一种而已。

对任一质数P，可定义一质数乘积P#，为所有小于等于P的质数之乘积。若Q为P之后的质数，则数列

P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)

为由相邻的Q-2个合数组成的数列，亦即存在一个长度至少为Q-1的质数间隙。因此，质数间的间隙可以是任意大的，亦即对任一质数P，总存在一个整数n，使得g_n ≥ P。（可选定n，使得p_n为小于P# + 2 的最大质数）另外，依据《质数定理》，质数的密度会随著数值增大而趋近于0，亦可知存在任意大的质数间隙。实际上，依《质数定理》，P# 的值约略为 exp(P)的大小，且于 exp(P)附近，相邻质数的“平均”间隙为 P。