質數間隙

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為g_n 或g(p_n)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由質數間隙組成的數列(g_n) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定義，可得g_n 及第n+1個質數的關係式如下：

p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}

.

張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅納德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲軒發起的Polymath計劃將這數字降到246。^[1]

簡單觀察

第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g₂ 及g₃ 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得g_n ≥ P。（可選定n，使得p_n為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨着數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。