以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。[ 7]
设 K 和 X 是两个度量空间 ,
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
是搜集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的集合 。如果
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
的一个子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
满足
对所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
和
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,存在一个 x 的邻域
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,使得对所有
y
∈
U
x
{\displaystyle y\in U_{x}}
和
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
,都有
d
(
f
(
y
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }
则称
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度连续 的。
设 K 是一个度量空间 ,
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
是搜集所有 K 上的实连续函数。设
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
的一个子集
如果存在
M
>
0
{\displaystyle M>0}
,使得对所有
f
∈
F
,
x
∈
K
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}
都有
|
f
(
x
)
|
<
M
{\displaystyle |f(x)|<M}
,则称
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是一致有界 的。
如果对所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
,都有
sup
f
∈
F
|
f
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }
,则称
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是逐点有界 的。
注意到一致有界可推得逐点有界,此外,如果已知
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度连续且 K 是完全有界 (比如说紧致) 的,则一致有界若且唯若逐点有界。
这是最简单的情况,此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以叙述为[ 8]
考虑一个定义在闭区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的实函数序列
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是逐点有界且等度连续的,那么在这个函数序列中,必定存在一个子序列
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
是一致收敛 的。另一方面,如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
的任何子序列
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
都有一个一致收敛的子序列
{
f
n
k
r
}
r
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}
,则
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是逐点有界且等度连续的。
设
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是一个逐点有界、可微分,并且导数是一致有界的函数序列,即
sup
f
∈
F
,
x
∈
K
|
f
′
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }
,则可以证明
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
也是等度连续的,因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列[ 7] 。
对于一般的度量空间,阿尔泽拉-阿斯科利定理断言[ 8]
设
X
{\displaystyle X}
为一个紧 度量空间,
Y
{\displaystyle Y}
为一个完备的度量空间,那么
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
的子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
在紧致开拓扑 中是紧致的当且仅当它是等度连续 、完全有界的闭集。
这里,
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
表示从
X
{\displaystyle X}
射到
Y
{\displaystyle Y}
的连续函数的集合。而它的子集
F
{\displaystyle F}
被称作完全有界 当且仅当
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,集合
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
{\displaystyle \{f(x):f\in F\}}
都是
Y
{\displaystyle Y}
中相对紧致 的子集。如果一个集合 A 在紧致开拓扑 中是紧致的,那么 A 中的所有序列都拥有一个在 A 中一致收敛的子序列。
更广泛地,对于 X 是紧豪斯多夫空间 的情况,定理一样成立:[ 9]
设
X
{\displaystyle X}
为一个紧豪斯多夫空间,那么
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
的子集
F
{\displaystyle F}
在紧致开拓扑 中是紧致的当且仅当它是等度连续 、完全有界的闭集。
阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上,连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说,函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间 ,这时仍然有基本相同的定理[ 10] [ 11] 。
以下证明在实数域上的叙述。
该定理的必要性比较显然,实用价值也比较小[ 12] 。事实上,由紧度量空间 X 到完备的度量空间 Y 的任何一列连续映射序列 {f n } 如果在 X 上一致收敛,那么它收敛到一个连续映射 f. 由紧度量空间上,连续映射 f 的一致连续 性和收敛的一致性,可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质,可以推出该序列完全有界。[ 7]
若集合 F 中的映射不一致有界,则由定义,对任意 n ∈N , 存在 F 中的映射 f n ,其范数大于n , 于是 {f n } 的任意一个子列都不是完全有界的,故任意子列都非一致收敛,与假设矛盾。若集合 F 中的映射不等度连续,则存在 ε>0,对任意的 n ∈N ,存在 x 1, x 2 和集合中某个映射 f n ,满足 d (x 1 ,x 2 ) < 1/n,但 d(f n (x 1 ), f n (x 2 )) ≥ ε. 这样,{f n } 的任意一个子列都不是等度连续的,从而任意子列都非一致收敛,同样与假设矛盾。[ 7]
充分性的证明用到了对角论证法 [ 12] 。若紧度量空间 X 是个有限集 ,则充分性显然。因此,设 X 是个无穷集,由 X 的紧致性可知,存在在 X 中稠密 的序列
E
=
{
x
k
}
k
∈
N
{\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}
。
考虑
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
中任意一个映射序列
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。由于
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是逐点有界的,序列
{
f
n
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}
在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 和 Y 的完备性,该序列拥有收敛的子列,记作
{
f
n
1
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}
。而序列
{
f
n
1
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}
又存在收敛的子列,记作
{
f
n
2
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}
… 。如此重复,即得到了一系列的映射序列
{
f
n
1
}
,
{
f
n
2
}
,
{
f
n
3
}
,
…
{\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }
。考虑其中对角线元素
g
n
=
f
n
n
{\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}
所构成的序列
{
g
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。则对于序列 E 中任意一点
x
k
{\displaystyle x_{k}}
,序列
{
g
n
(
x
k
)
}
n
≥
k
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}
是
{
f
n
k
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
的子序列,因此序列
{
g
n
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
收敛。[ 7] [ 12]
给定
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,因为
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度连续的,延用等度连续定义里的
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,所以
{
U
x
}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
区间的一个开覆盖。由于
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
区间是紧致的,存在有限集
{
ξ
1
,
…
,
ξ
l
}
{\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}
使得
[
a
,
b
]
=
⋃
i
=
1
l
U
ξ
i
{\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}
。因为 E 在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
中是稠密的,所以 E 有一个子集
{
x
n
1
,
…
,
x
n
l
}
{\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}
满足
x
n
i
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}
。由
g
n
{\displaystyle g_{n}}
在 E 中各点的收敛性可知,对每个
x
n
i
{\displaystyle x_{n_{i}}}
,存在
N
i
{\displaystyle N_{i}}
,使得对任一对比
N
i
{\displaystyle N_{i}}
大的正整数对 m 和 n 都有
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
。定义
N
=
max
1
≤
i
≤
l
N
i
{\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}
,则前一句话中的
N
i
{\displaystyle N_{i}}
可以改成 N。[ 7] [ 12]
对 X 中每个点 x,存在一个
ξ
i
{\displaystyle \xi _{i}}
使得
x
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}
。而对于任何比 N 大的正整数对 m 和 n,都有
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
,此外由
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
m
(
x
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
n
(
x
n
i
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
n
(
x
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
可知
|
g
m
(
x
)
−
g
n
(
x
)
|
<
5
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }
。[ 7] [ 12]
因此,
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
是一个
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
上的柯西列,因为
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
是完备的可推得
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
也是,所以
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
是
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
的一致收敛子序列。[ 7] [ 12]
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