以下的定義在定理的敘述和證明中會不斷使用到。[ 7]
設 K 和 X 是兩個度量空間 ,
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
是蒐集所有從 K 到 X 的連續映射的所形成的集合 。如果
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
的一個子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
滿足
對所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
和
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,存在一個 x 的鄰域
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,使得對所有
y
∈
U
x
{\displaystyle y\in U_{x}}
和
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
,都有
d
(
f
(
y
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }
則稱
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度連續 的。
設 K 是一個度量空間 ,
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
是蒐集所有 K 上的實連續函數。設
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
的一個子集
如果存在
M
>
0
{\displaystyle M>0}
,使得對所有
f
∈
F
,
x
∈
K
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}
都有
|
f
(
x
)
|
<
M
{\displaystyle |f(x)|<M}
,則稱
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是一致有界 的。
如果對所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
,都有
sup
f
∈
F
|
f
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }
,則稱
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是逐點有界 的。
注意到一致有界可推得逐點有界,此外,如果已知
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度連續且 K 是完全有界 (比如說緊緻) 的,則一致有界當且僅當逐點有界。
這是最簡單的情況,此時阿爾澤拉-阿斯科利定理的可以敘述為[ 8]
考慮一個定義在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的實函數序列
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是逐點有界且等度連續的,那麼在這個函數序列中,必定存在一個子序列
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
是均勻收斂 的。另一方面,如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
的任何子序列
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
都有一個一致收斂的子序列
{
f
n
k
r
}
r
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}
,則
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是逐點有界且等度連續的。
設
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
是一個逐點有界、可微分,並且導數是一致有界的函數序列,即
sup
f
∈
F
,
x
∈
K
|
f
′
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }
,則可以證明
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
也是等度連續的,因此滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件。所以它擁有一個均勻收斂的子序列[ 7] 。
對於一般的度量空間,阿爾澤拉-阿斯科利定理斷言[ 8]
設
X
{\displaystyle X}
為一個緊 度量空間,
Y
{\displaystyle Y}
為一個完備的度量空間,那麼
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
的子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
在緊緻開拓撲 中是緊緻的當且僅當它是等度連續 、完全有界的閉集。
這裏,
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
表示從
X
{\displaystyle X}
射到
Y
{\displaystyle Y}
的連續函數的集合。而它的子集
F
{\displaystyle F}
被稱作完全有界 當且僅當
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,集合
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
{\displaystyle \{f(x):f\in F\}}
都是
Y
{\displaystyle Y}
中相對緊緻 的子集。如果一個集合 A 在緊緻開拓撲 中是緊緻的,那麼 A 中的所有序列都擁有一個在 A 中均勻收斂的子序列。
更廣泛地,對於 X 是緊郝斯多夫空間 的情況,定理一樣成立:[ 9]
設
X
{\displaystyle X}
為一個緊郝斯多夫空間,那麼
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
的子集
F
{\displaystyle F}
在緊緻開拓撲 中是緊緻的當且僅當它是等度連續 、完全有界的閉集。
阿爾澤拉-阿斯科利定理是對於緊郝斯多夫空間上,連續函數的代數性質的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果推廣。比如說,函數的取值空間可以換為郝斯多夫的拓撲向量空間 ,這時仍然有基本相同的定理[ 10] [ 11] 。
以下證明在實數體上的敘述。
該定理的必要性比較顯然,實用價值也比較小[ 12] 。事實上,由緊度量空間 X 到完備的度量空間 Y 的任何一列連續映射序列 {f n } 如果在 X 上均勻收斂,那麼它收斂到一個連續映射 f. 由緊度量空間上,連續映射 f 的均勻連續 性和收斂的一致性,可以證明該映射序列是等度連續的。同時由收斂的一致性和連續映射將緊集映為緊集的性質,可以推出該序列完全有界。[ 7]
若集合 F 中的映射不一致有界,則由定義,對任意 n ∈N , 存在 F 中的映射 f n ,其範數大於n , 於是 {f n } 的任意一個子列都不是完全有界的,故任意子列都非均勻收斂,與假設矛盾。若集合 F 中的映射不等度連續,則存在 ε>0,對任意的 n ∈N ,存在 x 1, x 2 和集合中某個映射 f n ,滿足 d (x 1 ,x 2 ) < 1/n,但 d(f n (x 1 ), f n (x 2 )) ≥ ε. 這樣,{f n } 的任意一個子列都不是等度連續的,從而任意子列都非均勻收斂,同樣與假設矛盾。[ 7]
充分性的證明用到了對角論證法 [ 12] 。若緊度量空間 X 是個有限集 ,則充分性顯然。因此,設 X 是個無窮集,由 X 的緊緻性可知,存在在 X 中稠密 的序列
E
=
{
x
k
}
k
∈
N
{\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}
。
考慮
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
中任意一個映射序列
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。由於
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是逐點有界的,序列
{
f
n
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}
在 Y 中是有界的。根據波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理 和 Y 的完備性,該序列擁有收斂的子列,記作
{
f
n
1
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}
。而序列
{
f
n
1
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}
又存在收斂的子列,記作
{
f
n
2
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}
… 。如此重複,即得到了一系列的映射序列
{
f
n
1
}
,
{
f
n
2
}
,
{
f
n
3
}
,
…
{\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }
。考慮其中對角線元素
g
n
=
f
n
n
{\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}
所構成的序列
{
g
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
。則對於序列 E 中任意一點
x
k
{\displaystyle x_{k}}
,序列
{
g
n
(
x
k
)
}
n
≥
k
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}
是
{
f
n
k
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
的子序列,因此序列
{
g
n
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
收斂。[ 7] [ 12]
給定
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,因為
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是等度連續的,延用等度連續定義裏的
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,所以
{
U
x
}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
區間的一個開覆蓋。由於
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
區間是緊緻的,存在有限集
{
ξ
1
,
…
,
ξ
l
}
{\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}
使得
[
a
,
b
]
=
⋃
i
=
1
l
U
ξ
i
{\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}
。因為 E 在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
中是稠密的,所以 E 有一個子集
{
x
n
1
,
…
,
x
n
l
}
{\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}
滿足
x
n
i
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}
。由
g
n
{\displaystyle g_{n}}
在 E 中各點的收斂性可知,對每個
x
n
i
{\displaystyle x_{n_{i}}}
,存在
N
i
{\displaystyle N_{i}}
,使得對任一對比
N
i
{\displaystyle N_{i}}
大的正整數對 m 和 n 都有
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
。定義
N
=
max
1
≤
i
≤
l
N
i
{\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}
,則前一句話中的
N
i
{\displaystyle N_{i}}
可以改成 N。[ 7] [ 12]
對 X 中每個點 x,存在一個
ξ
i
{\displaystyle \xi _{i}}
使得
x
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}
。而對於任何比 N 大的正整數對 m 和 n,都有
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
,此外由
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
m
(
x
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
n
(
x
n
i
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
、
|
g
n
(
x
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
可知
|
g
m
(
x
)
−
g
n
(
x
)
|
<
5
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }
。[ 7] [ 12]
因此,
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
是一個
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
上的柯西列,因為
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
是完備的可推得
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
也是,所以
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
是
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
的一致收斂子序列。[ 7] [ 12]
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