马尔可夫方程

不定方程$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=3x_{1}x_{2}x_{3}$称为马尔可夫方程（英语：Markov equation或Markoff equation）。

求解方法如下：

• 先凭观察找出$(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)$这组解。
• 方程可视为一个$x_{3}$为未知数的一元二次方程。根据韦达定理，可知$(x_{1},x_{2},3x_{1}x_{2}-x_{3})$　（留意$3x_{1}x_{2}-x_{3}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{3}}}$）也是一个解。

这个方程有无限个解。

事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。

在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（英语：Markov number），它们由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它们组成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

马尔可夫数的特性

马尔可夫方程的解

马尔可夫数可以排成一棵二元树（如图）。

在二元树上，和 1 的范围相邻的数（即二元树的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数。

和 2 的范围邻接的数（即二元树的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数。

猜想

每个数只在树上出现一次（即没有正整数$z$使得$(a,b,z),(c,d,z)$都是方程的解，其中$a,b,c,d$是两两相异的正整数，且$a>b>z,c>d>z$）。

赫尔维茨方程

马尔可夫-赫维兹方程（英语：Markov-Hurwitz equation），是指形式如$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}...x_{n}$的不定方程，其中$a,n$是正整数。

阿道夫·赫维兹证明了：方程有$(0,...,0)$之外的解的必要条件之一是$a\leq n$。