高斯和

在数论中，高斯和是一种单位根的有限和，可抽象地表为

$G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)$

其中 $R$ 为有限交换环，$\psi :(R,+)\to \mathbb {S} ^{1}$ 为同态，$\chi :(R^{\times },*)\to \mathbb {S} ^{1}$ 亦为同态，对于 $r\notin R^{\times }$，可定义 $\chi (r)=0$。

这类有限和常见于代数数论与解析数论。此时通常取 $R:=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$，特征 $\psi$ 必为 $\psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}$ 之形式（$\alpha \in \mathbb {Z}$），此处的 $\chi$ 不外是一个狄利克雷特征。这类高斯和有时也记为 $\tau _{\alpha }(\chi )$，出现于狄利克雷L函数的函数方程中。

高斯和的绝对值可透过抽象调和分析的方法导出，其确切值则较难确定。高斯首先算出了二次高斯和，此时取 $R=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$，其中 $p$ 为素数，并取 $\chi (x):=\left({\frac {x}{p}}\right)$ 为勒让德符号。高斯和遂化为下述指数和：

$\tau _{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}e^{2\pi i\alpha x^{2}/p}$

高斯得到的结果是：

$\tau _{\alpha }={\begin{cases}\left({\frac {\alpha }{p}}\right){\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\\left({\frac {\alpha }{p}}\right)i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}$

由此可导出二次互反律的一种证明；二次高斯和也与Theta 函数理论相关。

文献

• Ireland and Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. 1990. ISBN 0-387-97329-X. 
• B.M. Bredikhin, Gauss sum, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4