鸢形六十面体

鸢形六十面体
	; （按这里观看旋转模型）
类别	卡塔兰立体; 六十面体
对偶多面体	小斜方截半二十面体
识别
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sladit
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
康威表示法	oD 或 deD
性质
面	60
边	120
顶点	62
欧拉特征数	F=60, E=120, V=62 （χ=2）
二面角	154° 7′ 17′′ arccos(-19-8√5/41)
组成与布局
面的种类	; 鸢形
面的布局; （英语：Face configuration）	V3.4.5.4
顶点的种类	20个3阶顶点; 30个4阶顶点; 12个5阶顶点
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], (*532)
旋转对称群; （英语：Rotation_groups）	I, [5,3]+, (532)
图像
; 小斜方截半二十面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，鸢形六十面体是一种卡塔兰立体，由60个全等的筝形组成，是小斜方截半二十面体的对偶多面体，其拓朴结构与菱形六十面体相同^[1]，是6个不存在哈密顿路径的卡塔兰立体之一。^[2]在图论中，鸢形六十面体与菱形六十面体皆对应到鸢形六十面体图，也就是说鸢形六十面体与菱形六十面体与拓朴同构^[3]。

性质

鸢形六十面体由60个面、120条边和62个顶点组成。^[4]其中，60个面都是全等的鸢形。在其62个顶点中，有20个顶点是3个鸢形的公共顶点、30个顶点是4个鸢形的公共顶点和12个顶点是5个鸢形的公共顶点^[5]，这三种顶点分别可以对应到其对偶多面体小斜方截半二十面体的三种面上^[6] 。鸢形六十面体不存在哈密顿路径^[2]，换句话说，即在鸢形六十面体中找不到一条沿著鸢形六十面体的边，恰好通过每个顶点、且不重复拜访顶点的路径^[7]。

面的组成

组成鸢形六十面体的鸢形，若将短边长定为单位长，则其长边为：^[8]

{\frac {{\sqrt {5}}+7}{6}}\approx 1.539

换句话说即短边长与长边长的比为1:7 + √5/6 ≈ 1:1.539344663...；反过来，长边长与短边长的比为1:3(7-√5)/22 ≈ 1:0.64962709397。^[9]

二面角

鸢形六十面体只有一种二面角，其值为负41分之19与八倍的五平方根之和的反馀弦值：^[5]

\cos ^{-1}{\left(-{\frac {19+8{\sqrt {5}}}{41}}\right)}\approx 2.689925\approx 154.121363126^{\circ }

尺寸

最短边边长为单位长的鸢形六十面体，其表面积 $A$ 和体积 $V$ 为：^[10]

A={\sqrt {4370+1850{\sqrt {5}}}}\approx 92.2319

^[10]

V={\sqrt {\frac {29530+13240{\sqrt {5}}}{9}}}\approx 81.0041

^[10]

其内切球半径是一个四次式的根。这个四次式为：^[11]

820x^{4}-5710x^{2}+121=0

最短边边长为1的鸢形六十面体内切球半径为：^[10]^[12]

r=\mathrm {Root} \left(820x^{4}-5710x^{2}+121\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2855+1269{\sqrt {5}}}{205}}}\approx 2.6348

正交投影

鸢形六十面体有3种具对称性的投影位置，分别位于其三种顶点上。其中最后两种的对偶图之对称性对应于A₂和H₂的考克斯特平面^[13]。

正交投影
投影对称性	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
图像
对偶图像

变体

鸢形六十面体可以透过在正二十面体或正十二面体的面中心加入顶点，并加入从新顶点到原始边的新边来构造，^[14]因此鸢形六十面体在康威多面体表示法中可以用oI或oD来表示^[15]。这种几何变换存在一个能连续变化的自由度，因此可以产生许多变体。以从正二十面体构建的版本为例，三角形中心加入顶点连接到边缘可以是垂直于边缘或著不垂直于边缘，这将产生两种不同的鸢形六十面体变体。^[14]

用途

由于鸢形六十面体每个面都是相同的鸢形^[16]，因此有时会被用于制作六十面的骰子^[17]^[18]。此外，在化学中，分子Au₄₂N20模型呈鸢形六十面体，并具有一定程度的稳定性。^[19]

鸢形六十面体的骰子

参见

参考文献

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外部链接

埃里克·韦斯坦因, 鸢形六十面体（参阅卡塔兰立体）于MathWorld（英文）

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