Phi相关系数

在统计学里，“Phi相关系数”（英语：Phi coefficient）（符号表示为：$\phi$ 或 $r_{\phi }$）是测量两个二元变数（英语：binary variables or dichotomous variables）之间相关性的工具，由卡尔·皮尔森所发明 。他也发明了与Phi相关系数有密切关联的皮尔森卡方检定（英语：Pearson's chi-squared test。一般所称的卡方检定，若未明指种类，即指此），以及发明了测量两个连续变数之间相关程度的皮尔森积差相关系数（英语：Pearson's r。一般所称的相关系数，若未明指种类，即指此）。

Phi 相关系数在机器学习的领域又称为Matthews相关系数。

定义

首先将两个变数排成2×2列联表，注意 1 和 0 的位置必须如同下表，若只变动 X 或只变动 Y 的 0/1 位置，计算出来的Phi相关系数会正负号相反。Phi相关系数的基本概念是：两个二元变数的观察值若大多落在2×2列联表的“主对角线”（英语：diagonal：左上－右下线）栏位，亦即若观察值大多为 $(X,Y)=(1,1),(0,0)$ 这两种组合，则这两个变数呈正相关。反之，若两个二元变数的观察值大多落在“非对角线”（英语：off-diagonal：主对角线以外的位置）栏位，对应于2×2列联表，亦即若观察值大多为 $(X,Y)=(0,1),(1,0)$ 这两种组合，则这两个变数呈负相关。例如我们从两个随机二元变数（X, Y）抽样得出这样的2×2列联表：

	y = 1	y = 0	总计
x = 1	$n_{11}$	$n_{10}$	$n_{1\bullet }$
x = 0	$n_{01}$	$n_{00}$	$n_{0\bullet }$
总计	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 0}$	$n$

其中 n₁₁, n₁₀, n₀₁, n₀₀都是非负数的栏位计次值，它们加总为 $n$ ，亦即观察值的个数。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相关系数如下：

$\phi ={\frac {n_{11}n_{00}-n_{10}n_{01}}{\sqrt {n_{1\bullet }n_{0\bullet }n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}}$

实例

研究者欲观察性别与惯用手的相关性。虚无假设是：性别与惯用手无相关性。观察对象是随机抽样出来的个人，身上有两个二元变数（性别 X ，惯用手 Y），X 有两种结果值（男=1／女=0），Y也有两种结果值（右撇子=1／左撇子=0）。

观察两个二元变数的相关性可以使用Phi相关系数。假设简单随机抽样100人，得出如下的2×2列联表：

	男=1	女=0	总计
右=1	43	44	87
左=0	9	4	13
总计	52	48	100

本例的Phi相关系数：

$\phi ={(43\times 4-44\times 9) \over {\sqrt {87\times 13\times 48\times 52}}}=-0.133$

本处暂不介绍Phi相关系数的显著性检定，仅简介其诠释：假设−0.133的相关系数检定为显著，在本例对变数 1/0 的指定下，代表身为男性与身为右撇子有轻微的负相关，也就是男性右撇子的比例略低于女性右撇子的比例；或者反过来说，男性左撇子的比例略高于女性左撇子的比例。

与Pearson相关系数的异同

“Phi相关系数”与“Pearson相关系数”在诠释上非常类似；事实上，使用Pearson相关系数来计算两个二元变数（各输入成1/0）之间的相关性时，就会得出Phi相关系数 。

尽管Phi相关系数只是把Pearson相关系数简化为两个二元变数的情况，但诠释这两种相关系数时仍必须注意其差别。Pearson相关系数的值从−1 到 +1，±1 是其两个端点，指出完全正相关与完全负相关，0则是无相关。Phi相关系数的极值则受到两个变数各别的二元结果比例所影响，当两个变数的二元结果都是50:50时，Phi值才会从−1 到 +1。

与Pearson卡方统计值的关系

一个2×2列联表的卡方统计值（$\chi ^{2}$），与Phi相关系数呈下述关系：

$\phi ^{2}={\frac {\chi ^{2}}{n}}$

其中 $n$ 是观察值的个数。

亦参见

• Phi相关系数的网页版计算器（页面存档备份，存于互联网档案馆）（还有许多的基础统计教材和计算器）。
• 列联表
• Matthews相关系数
• Cramér's V：类别变数间相关性的另一个测量法。
• Polychoric相关：当两个连续变项被人为地改成二分变项时，求其相关性。其中一种是“四分相关”。