Phi相關系數

在統計學裏，「Phi相關系數」（英語：Phi coefficient）（符號表示為：$\phi$ 或 $r_{\phi }$）是測量兩個二元變量（英語：binary variables or dichotomous variables）之間相關性的工具，由卡爾·皮爾森所發明 。他也發明了與Phi相關系數有密切關聯的皮爾森卡方檢驗（英語：Pearson's chi-squared test。一般所稱的卡方檢驗，若未明指種類，即指此），以及發明了測量兩個連續變量之間相關程度的皮爾森積差相關系數（英語：Pearson's r。一般所稱的相關系數，若未明指種類，即指此）。

Phi 相關系數在機器學習的領域又稱為Matthews相關系數。

定義

首先將兩個變量排成2×2列聯表，注意 1 和 0 的位置必須如同下表，若只變動 X 或只變動 Y 的 0/1 位置，計算出來的Phi相關系數會正負號相反。Phi相關系數的基本概念是：兩個二元變量的觀察值若大多落在2×2列聯表的「主對角線」（英語：diagonal：左上－右下線）欄位，亦即若觀察值大多為 $(X,Y)=(1,1),(0,0)$ 這兩種組合，則這兩個變量呈正相關。反之，若兩個二元變量的觀察值大多落在「非對角線」（英語：off-diagonal：主對角線以外的位置）欄位，對應於2×2列聯表，亦即若觀察值大多為 $(X,Y)=(0,1),(1,0)$ 這兩種組合，則這兩個變量呈負相關。例如我們從兩個隨機二元變量（X, Y）抽樣得出這樣的2×2列聯表：

	y = 1	y = 0	總計
x = 1	$n_{11}$	$n_{10}$	$n_{1\bullet }$
x = 0	$n_{01}$	$n_{00}$	$n_{0\bullet }$
總計	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 0}$	$n$

其中 n₁₁, n₁₀, n₀₁, n₀₀都是非負數的欄位計次值，它們加總為 $n$ ，亦即觀察值的個數。由上面的表格可以得出 X 和 Y 的 Phi相關系數如下：

$\phi ={\frac {n_{11}n_{00}-n_{10}n_{01}}{\sqrt {n_{1\bullet }n_{0\bullet }n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}}$

實例

研究者欲觀察性別與慣用手的相關性。虛無假設是：性別與慣用手無相關性。觀察對象是隨機抽樣出來的個人，身上有兩個二元變量（性別 X ，慣用手 Y），X 有兩種結果值（男=1／女=0），Y也有兩種結果值（右撇子=1／左撇子=0）。

觀察兩個二元變量的相關性可以使用Phi相關系數。假設簡單隨機抽樣100人，得出如下的2×2列聯表：

	男=1	女=0	總計
右=1	43	44	87
左=0	9	4	13
總計	52	48	100

本例的Phi相關系數：

$\phi ={(43\times 4-44\times 9) \over {\sqrt {87\times 13\times 48\times 52}}}=-0.133$

本處暫不介紹Phi相關系數的顯著性檢驗，僅簡介其詮釋：假設−0.133的相關系數檢驗為顯著，在本例對變量 1/0 的指定下，代表身為男性與身為右撇子有輕微的負相關，也就是男性右撇子的比例略低於女性右撇子的比例；或者反過來說，男性左撇子的比例略高於女性左撇子的比例。

與Pearson相關系數的異同

「Phi相關系數」與「Pearson相關系數」在詮釋上非常類似；事實上，使用Pearson相關系數來計算兩個二元變量（各輸入成1/0）之間的相關性時，就會得出Phi相關系數 。

儘管Phi相關系數只是把Pearson相關系數簡化為兩個二元變量的情況，但詮釋這兩種相關系數時仍必須注意其差別。Pearson相關系數的值從−1 到 +1，±1 是其兩個端點，指出完全正相關與完全負相關，0則是無相關。Phi相關系數的極值則受到兩個變量各別的二元結果比例所影響，當兩個變量的二元結果都是50:50時，Phi值才會從−1 到 +1。

與Pearson卡方統計值的關係

一個2×2列聯表的卡方統計值（$\chi ^{2}$），與Phi相關系數呈下述關係：

$\phi ^{2}={\frac {\chi ^{2}}{n}}$

其中 $n$ 是觀察值的個數。

亦參見

• Phi相關系數的網頁版計算器（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（還有許多的基礎統計教材和計算器）。
• 列聯表
• Matthews相關系數
• Cramér's V：類別變量間相關性的另一個測量法。
• Polychoric相關：當兩個連續變項被人為地改成二分變項時，求其相關性。其中一種是「四分相關」。