烏雷松引理

在拓撲學中，烏雷松引理，有時稱為「拓撲學中的第一非平凡事實」，通常用於構造正規空間上不同性質的連續函數。這個定理有廣泛的應用，因為所有的度量空間和緊豪斯多夫空間都是正規的。

這個引理是以帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松命名的。

正式表述

烏雷松引理說明，$X$ 是一個正規拓撲空間，當且僅當只要 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 的不交閉子集，就存在一個從 $X$ 到單位區間 $[0,1]$ 的連續函數：

$f:X\to [0,1]$，

使得對於所有 $a\in A$，都有 $f(a)=0$，而對於所有 $b\in B$，都有 $f(b)=1$。

任何滿足這個性質的函數f都稱為烏雷松函數。

注意 $A$ 和 $B$ 以外的元素 $x\notin A\cup B$ 並不需要使得 $f(x)\neq 0$ 或 $f(x)\neq 1$。這只在完備正規空間中才有可能。

烏雷松引理導致了其它拓撲空間，例如「吉洪諾夫性質」和「完全豪斯多夫空間」的表述。例如，這個引理的一個推論是：正規的T₁空間是吉洪諾夫空間。

證明

烏雷松的洋蔥函數。

對於每一個二進分數 $r\in (0,1)$，我們構造 $X$ 的一個開子集 $U(r)$，使得：

1. $A\subseteq U(r)$，且對於所有的 $r$，$U(r)\cap B=\varnothing$；
2. 對於 $r<s$，$U(r)$ 的閉包位於 $U(s)$ 內。

有了這些集合以後，我們便定義 $f(x)=\inf _{x\in U(r)}r$ 對於所有 $x\in X$。利用二進有理數是稠密的事實，便不難證明 $f$ 是連續的，且具有性質 $f(A)\subseteq \{0\}$ 和 $f(B)\subseteq \{1\}$。

為了構造集合 $U(r)$，我們還需要做更多事情：我們構造集合 $U(r)$ 和 $V(r)$，使得：

• 對於所有的 $r$，都有 $A\subseteq U(r)$ 且 $B\subseteq V(r)$；
• 對於所有的 $r$，$U(r)$ 和 $V(r)$ 都是開集和不交的；
• 對於 $r<s$，$V(s)$ 包含在 $U(r)$ 的補集之內，而 $V(r)$ 的補集包含在 $U(s)$ 之內。

由於 $V(r)$ 的補集是閉集，且含有 $U(r)$，因此從最後一個條件可以推出上面的條件 (2)。

我們使用數學歸納法。由於 $X$ 是正規的，我們便可以找出兩個不交的開集 $U(1/2)$ 和 $V(1/2)$，分別含有 $A$ 和 $B$。現在假設 $n\geq 1$，且集合 $U(a/2^{n})$ 和 $V(a/2^{n})$ 對於 $a=1,\ldots ,2^{n}-1$ 已經構造了。由於 $X$ 是正規的，我們便可以找出兩個不交的開集，分別含有 $V(a/2^{n})$ 的補集和 $U((a+1)/2^{n})$ 的補集。稱這兩個開集為 $U((2a+1)/2^{n+1})$ 和 $V((2a+1)/2^{n+1})$，並驗證以上的三個條件成立。

參考文獻

• proof of Urysohn's lemma. PlanetMath.