代數閉域

在數學上，一個域$F$被稱作代數閉域，若且唯若任何係數屬於$F$且次數大於零的單變數多項式在$F$裡至少有一個根。代數閉域一定是無限域。

例子

舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

$x^{2}+1=0$

同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若$a_{1},\ldots ,a_{n}$列出$F$的所有元素，則下列多項式在$F$中沒有根：

$(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,$

反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

等價的刻劃

給定一個域$F$，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

不可約多項式若且唯若一次多項式

域F是代數閉域，當且僅當環F[x]中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何域都是正確的。如果F是代數閉域，p(x)是F[x]的一個不可約多項式，那麼它有某個根a，因此p(x)是x − a的一個倍數。由於p(x)是不可約的，這意味着對於某個k ∈ F \ {0}，有p(x) = k(x − a)。另一方面，如果F不是代數閉域，那麼存在F[x]內的某個非常數多項式p(x)在F內沒有根。設q(x)為p(x)的某個不可約因子。由於p(x)在F內沒有根，因此q(x)在F內也沒有根。所以，q(x)的次數大於一，因為每一個一次多項式在F內都有一個根。

每一個多項式都是一次多項式的乘積

域F是代數閉域，當且僅當每一個係數位於次數F內的n ≥ 1的多項式p(x)都可以分解成線性因子。也就是說，存在域F的元素k， x₁， x₂， ……， x_n，使得p(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ··· (x − x_n)。

如果F具有這個性質，那麼顯然F[x]內的每一個非常數多項式在F內都有根；也就是說，F是代數閉域。另一方面，如果F是代數閉域，那麼根據前一個性質，以及對於任何域K，任何K[x]內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對F成立。

Fⁿ的每一個自同態都有特徵向量

域F是代數閉域，當且僅當對於每一個自然數n，任何從Fⁿ到它本身的線性映射都有某個特徵向量。

Fⁿ的自同態具有特徵向量，當且僅當它的特徵多項式具有某個根。因此，如果F是代數閉域，每一個Fⁿ的自同態都有特徵向量。另一方面，如果每一個Fⁿ的自同態都有特徵向量，設p(x)為F[x]的一個元素。除以它的首項係數，我們便得到了另外一個多項式q(x)，它有根當且僅當p(x)有根。但如果q(x) = xⁿ + a_n − 1x^n − 1+ ··· + a₀，那麼q(x)是以下友矩陣的特徵多項式：

${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

有理表達式的分解

域F是代數閉域，當且僅當每一個係數位於F內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為a/(x − b)ⁿ的有理函數之和，其中n是自然數，a和b是F的元素。

如果F是代數閉域，那麼由於F[x]內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於域F成立。設p(x)為F[x]內的一個不可約元素。那麼有理函數1/p可以寫成多項式函數q與若干個形為a/(x − b)ⁿ的有理函數之和。因此，有理表達式

${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於p(x)是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。

代數閉包

設$E\supset F$為代數擴張，且$E$是代數閉域，則稱$E$是$F$的一個代數閉包。可以視之為包含$F$的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設$E,E'$為任兩個$F$的代數閉包，則存在環同構$\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'$使得$\sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}$；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 $F^{\mathrm {alg} }$ 或${\bar {F}}$。

文獻

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5