隨機分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清,他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。

伊藤引理較早版本

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第一引理

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對於布朗運動 和二次可導函數 ,以下等式成立:

 

其中過程:

 

其主要可通過對多項式環形式冪級數的拓展,例如:

 

第二引理

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對於伊藤過程 和二次可導函數 ,以下等式成立

 

第三引理

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定義伊藤過程 為滿足下列隨機微分方程的隨機過程

 

對於伊藤過程 和二次可導函數 ,以下等式成立:

 

類似地,定義多維伊藤過程 使得

 

其中 為n維向量 為n階方塊矩陣;有如下等式:

 

其中, f關於X梯度HX ff關於X黑塞矩陣Tr的符號。

半鞅的拓展

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[需要定義]

連續半鞅

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不連續半鞅

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泊松過程

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我們也可以定義非連續隨機過程的函數。

定義跳躍強度h,根據跳躍的泊松過程模型,在區間 上出現一次跳躍的概率是  加上 的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函數,或者是隨機過程。在區間 上沒有跳躍的概率稱為生存概率 ,其變化是:

 

因此生存概率為:

 

定義非連續隨機過程 ,並把 記為從左側到達tS的值,記 是一次跳躍導致 的非無窮小變化。有:

 

 是跳躍幅度z概率分布,跳躍幅度的期望值是:

 

定義補償過程和 

 

因此跳躍的非無窮小變化,也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為:

 

因此如果隨機過程 同時包含漂移、擴散、跳躍三部分,可以寫為:

 

考慮其函數  跳躍 的幅度,會導致 跳躍 幅度。 取決於g的跳躍分布 ,有可能依賴於跳躍前的函數值 ,函數微分dg以及跳躍前的自變量值  的跳躍部分是:

 

函數 的伊藤引理是:

 

可以看到,漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。

應用例子

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布萊克-舒爾茲模型

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伊藤引理可以用於推導布萊克-舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動 ,且其期權的價格是股票價格和時間的函數 。根據伊藤引理,有

 

整理可得

 

式中 項表明期權價格的波動等於持有 單位股票時的波動。在這個對應下,現金的部分應該以無風險利率 增長,即

 

比較兩式 項的係數,可得

 

參看

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參考資料

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  • Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
  • PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
  • Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy