随机分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清,他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

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第一引理

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对于布朗运动 和二次可导函数 ,以下等式成立:

 

其中過程:

 

其主要可通过对多项式环形式幂级数的拓展,例如:

 

第二引理

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对于伊藤过程 和二次可导函数 ,以下等式成立

 

第三引理

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定义伊藤过程 为满足下列随机微分方程的随机过程

 

对于伊藤过程 和二次可导函数 ,以下等式成立:

 

类似地,定义多维伊藤过程 使得

 

其中 为n维向量 为n阶方块矩阵;有如下等式:

 

其中, f关于X梯度HX ff关于X黑塞矩陣Tr的符号。

半鞅的拓展

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[需要定义]

连续半鞅

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不连续半鞅

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泊松过程

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我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h,根据跳跃的泊松过程模型,在区间 上出现一次跳跃的概率是  加上 的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数,或者是随机过程。在区间 上没有跳跃的概率称为生存概率 ,其变化是:

 

因此生存概率为:

 

定义非连续随机过程 ,并把 记为从左侧到达tS的值,记 是一次跳跃导致 的非无穷小变化。有:

 

 是跳跃幅度z概率分布,跳跃幅度的期望值是:

 

定义补偿过程和 

 

因此跳跃的非无穷小变化,也就是随机过程的跳跃部分可以写为:

 

因此如果随机过程 同时包含漂移、扩散、跳跃三部分,可以写为:

 

考虑其函数  跳跃 的幅度,会导致 跳跃 幅度。 取决于g的跳跃分布 ,有可能依赖于跳跃前的函数值 ,函数微分dg以及跳跃前的自变量值  的跳跃部分是:

 

函数 的伊藤引理是:

 

可以看到,漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子

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布莱克-舒尔兹模型

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伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动 ,且其期权的价格是股票价格和时间的函数 。根据伊藤引理,有

 

整理可得

 

式中 项表明期权价格的波动等于持有 单位股票时的波动。在这个对应下,现金的部分应该以无风险利率 增长,即

 

比较两式 项的系数,可得

 

参看

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參考資料

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  • Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
  • PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
  • Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy