偽譜

偽譜（英語：pseudospectrum）在數學中是指一個算子的特徵值和「近似」特徵值的集合。偽譜是譜（即算子的特徵值集合）這一概念的推廣，對理解非正規算子及其特徵函數十分重要。

矩陣$A$的$\epsilon$偽譜（$\epsilon$-pseudospectrum）包含與該矩陣「$\epsilon$接近」（$\epsilon$-close）的所有矩陣的特徵值，即：

$\Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.$

由於捨入和其他數值誤差，用於計算矩陣特徵值的數值算法僅能給出特徵值的近似結果。這些誤差可以用矩陣$E$來描述。

更一般地，對於巴拿赫空間$X$、$Y$與算子$A:X\to Y$ ，$A$的$\epsilon$偽譜（通常表示為${\text{sp}}_{\epsilon }(A)$ ）可定義為

${\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.$

其中，當$A-\lambda I$是不可逆時，約定$\|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty$。