伯恩賽德引理

伯恩賽德引理(英語:Burnside's lemma),也叫伯恩賽德計數定理Burnside's counting theorem),柯西-弗羅貝尼烏斯引理Cauchy-Frobenius lemma)或軌道計數定理orbit-counting theorem),是群論中一個結果,在考慮對稱的計數中經常很有用。該結論被冠以多個人的名字,其中包括威廉·伯恩賽德英語William Burnside波利亞柯西弗羅貝尼烏斯。這個命題不屬於伯恩賽德自己,他只是在自己的書中《有限群論 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而將其歸於弗羅貝尼烏斯 (1887)[1]

下文中,設 是一個有限作用在集合 上。對每個屬於 ,令 表示 中在 作用下的不動元素。伯恩賽德引理斷言軌道數(記作 )由如下公式給出:[2]

從而軌道數(是一個自然數無窮)等於被 G 中一個元素保持不動的點個數的平均值(故同樣是自然數或無窮)。

應用舉例

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使用兩種顏色對三個珠子染色,共有 種染色方法,而只有四種旋轉後不重合的染色方法,用二元數列表示為 。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道:   考慮三種可能的旋轉:「空旋轉」,順時針轉一個單位,順時針轉兩個單位;它們對應的不動點數目分別為8,2,2,因此軌道數為  

對於長度為4的環狀排列,共有16種染色方法,4個旋轉;0個單位的旋轉有16個不動點,1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111;2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為   具體地,0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。

立方體染色

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使用三種顏色對立方體的六個面染色,將旋轉後相同的視為一種染色,染色方式總數可以由上述公式確定。

選取一個定向,設 是這個定向立方體所有 種可能面染色組合,立方體的旋轉群 顯然是作用 上的群。且若 的兩個元素(染色組合)屬於同一軌道,則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色,因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是 關於 的軌道數,可以通過數  個元素的不動集合的大小求出來。

 
立方體面染色
  • 一個恆同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
  • 六個 90 度面旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。[3]
  • 三個 180 度面旋轉,每一個保持 X 的 34 個元素不變。
  • 八個 120 度頂點旋轉,每一個保持 X 的 32 個元素不變。
  • 六個 180 度邊旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。


這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標英語Cycle index

這樣,平均不動集合的大小是

 

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地,使用 n 種顏色,立方體不同的旋轉面染色數是

 

證明

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定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交並的事實:

 
 
 

歷史:該引理不屬於伯恩賽德

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威廉·伯恩賽德在他1897年關於有限群的書中陳述並證明了這個引理,將其歸於弗羅貝尼烏斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前,這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上,這個引理明顯如此有名,伯恩賽德不過忽略了將其歸於柯西。因此,這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 [4]。這可能看起來不那麼有歧義,伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

注釋

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  1. ^ 伯恩賽德 1897,§119
  2. ^ Rotman 1995,Chapter 3
  3. ^ 「90 度面旋轉」指選定一個面面向自己,將立方體逆時針旋轉90度,立方體六個面所對應的面旋轉都不同,因而共有六個「90 度面旋轉」。若將面向自己的一面標記為1號,背向自己的一面為6號,其他四個面逆時鐘方向分別標記為2345號,則此旋轉對效於對換(5234)。若一染色為不動點,則不被旋轉軸所經過的四個面的顏色必須全部相同,有三個獨立染色自由度,所以有3自由度 = 33 個不動點。
  4. ^ 紐曼 1979

另見

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參考文獻

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