偽內切圓
與三角形兩邊及外接圓相切的圓
幾何學中,三角形的偽內切圓[1]是內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點的偽內切圓」、「所對的偽內切圓」或「-偽內切圓」。
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關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。
存在性及唯一性的證明
編輯關於點 的旁切圓是唯一的。
定義 為以下兩個幾何變換的複合:先以 點為圓心, 為半徑作反演變換;再關於角 的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質, 也有對應的性質。
點的旁切圓經 變換後的圖像為內切於 、 ,以及 外接圓的一個圓,即關於點 的偽內切圓。因此關於點 的偽內切圓唯一確定。類似地,關於點 及點 的偽切圓也唯一確定。[2]
其他性質
編輯半徑
編輯以下公式說明了三角形內切圓半徑 和 -偽內切圓半徑 的關係: 其中 是角 的大小[3]。
與偽內切圓在三角形邊上的切點有關的性質
編輯三角形內心 為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點 和 組成線段的中點[4]。
和 與圓 除 的交點分別為弧 和 的中點[4]。
跟偽內切圓與三角形外接圓切點有關的圓
編輯與圓 除 的交點為弧 的中點[4]。
參考資料
編輯- ^ 潘成華; 田開斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等數學. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416.
與三角形外接圓內切且與三角形的兩邊相切的圓稱為偽內切圓
- ^ Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-10-23).
- ^ Yui, Paul. Mixtilinear Incircles. The American Mathematical Monthly. 2018-04-23, 106 (10): 952–955 [2021-10-27]. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. (原始內容存檔於2022-10-23).
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 68–69. ISBN 978-1-61444-411-4.