元素 (數學)

在集合论中构成集合的任何一个不同的对象

數學領域,集合元素(英語:element)指構成該集合的任意物件,也可以稱作成員(英語:member)。

集合

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 表示集合 中有四個元素,分別是數字1、2、3、4。由集合 中元素組成的集合是 子集,例如  

集合本身也可以是元素。例如,集合 的元素不是1、2、3、4四個數,而是數字1、2和集合 這三個元素。

集合的元素還可以是任何東西。例如,集合 的元素為redgreenblue

符號和術語

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符號「∈」表示「是 中的元素」的關係,這種關係也稱集合隸屬關係(英語:set membership)。可以用

 

表示「  中的元素」,也可以表達為「  的成員」、「  中」或「 屬於 」。

有時也用「 包含 」表達集合隸屬關係,但因為這樣的說法也可以用來表達「  子集」,應該謹慎使用,避免歧義。[1][2]不過使用符號時沒有歧義,可以用

 

來表達「 包含 」。

不隸屬的關係可以用符號「 」表示,記作

 

意思是「 不是 的元素」。

符號∈最早見於朱塞佩·皮亞諾1889年的論文Arithmetices principia, nova methodo exposita[3]他在第 X 頁[註 1]上寫道:

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符號 ∈ 表示「是」。所以a ∈ b被讀作 a 是 b; …

該符號源自希臘字母「E」的小寫「ϵ」,是單詞ἐστί的第一個字母,意思為「是」。[3]

字元
Unicode名稱 Element of Not an element of Contains as member Does not contain as member
編碼 十進位 十六進位 十進位 十六進位 十進位 十六進位 十進位 十六進位
Unicode 2208 U+2208 2209 U+2209 2211 U+220B 2212 U+220C
UTF-8 226 136 136 E2 88 88 226 136 137 E2 88 89 226 136 139 E2 88 8B 226 136 140 E2 88 8C
UTF-16 8712 2208 8713 2209 8715 220B 8716 220C
字符值引用 ∈ ∈ ∉ ∉ ∋ ∋ ∌ ∌
字符值引用 ∈ ∉ ∋
LaTeX \in \notin \ni \not\ni or \notni
Wolfram Mathematica \[Element] \[NotElement] \[ReverseElement] \[NotReverseElement]

集合的勢

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參見

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注釋

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  1. ^ 這裡的「X」是希臘數字的10

參考資料

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  1. ^ Eric Schechter. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0-12-622760-8.  p. 12
  2. ^ George Boolos. 24.243 Classical Set Theory (lecture) (演講). 麻省理工學院. February 4, 1992. 
  3. ^ 3.0 3.1 Kennedy, H. C. What Russell learned from Peano. Notre Dame Journal of Formal Logic (Duke University Press). July 1973, 14 (3): 367–372. MR 0319684. doi:10.1305/ndjfl/1093891001 . 

延伸閱讀

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  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory , 數學大學生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6  - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
  • Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], (原始內容存檔於2015-03-14) 
  • Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory , NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4  - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".