八角化六階正方形鑲嵌
在幾何學中，八角化六階正方形鑲嵌又稱為四角化六階四菱形鑲嵌是一種雙曲面鑲嵌，其為半正鑲嵌大斜方截半四階六邊形鑲嵌的對偶鑲嵌，整體由直角三角形拼合，密鋪於雙曲平面。八角化六階正方形鑲嵌是將六階正方形鑲嵌中的每一個正方形從重心分割為八個全等的直角三角形所組成的鑲嵌，其面的布局以符號V4.8.12表示形成的公共頂點有4個三角形、8個三角形和12個三角形的三種公共頂點。
 龐加萊圓盤模型 | ||
| 類別 | 雙曲半正鑲嵌對偶 雙曲鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 大斜方截半四階六邊形鑲嵌 | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |    | |
| 施萊夫利符號 | dtr{6,4} | |
| 組成與佈局 | ||
| 面的種類 | 直角三角形 | |
| 面的佈局 | V4.8.12 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | [6,4], (*642) | |
| 旋轉對稱群 | [6,4]+, (642) [4+,6] | |
| 特性 | ||
| 面可遞 | ||
| 圖像 | ||
| ||
結構
編輯八角化六階正方形鑲嵌又稱為四角化六階四菱形鑲嵌是因為其可以視為六階四菱形鑲嵌經過四角化（Kleetope）變換而構造出來的象。它也可以視為將四階六邊形鑲嵌中的每一個正六邊形從重心分割為12個全等的直角三角形所組成的鑲嵌，即十二角化四階六邊形鑲嵌。
八角化六階正方形鑲嵌的結構是不可能存在於平面上的，由於在歐氏幾何中過六邊形重心內分割出來三角形應為30-60-90的直角三角形，然而在此結構中60度角又可以做為正方形的內角，因此此結構在歐氏幾何中得到矛盾無法存在，只能存在於羅氏幾何中。
在藝術中
編輯在艾雪的《圓極限 IV（天堂和地獄[1]）》作品[2]用了此種鑲嵌將蝙蝠與天使畫在龐加萊圓盤模型上[3]，天使和蝙蝠的頭部與翅膀皆位於八角化六階正方形鑲嵌的頂點上，其中翅膀的位置是經過精心設計計算的[4]，正好位於六階正方形鑲嵌或四階六邊形鑲嵌的頂點上，因此其對稱群與八角化六階正方形鑲嵌相同，同為[4+,6][5]。
相關多面體及鑲嵌
編輯八角化六階正方形鑲嵌為大斜方截半四階六邊形鑲嵌的對有鑲嵌，與一系列的大斜方截半四階多邊形鑲嵌及其對偶有類似的拓樸結構：
| 對稱群 *n42 [n,4] |
球面鑲嵌 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊空間 | 非緊空間 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *242 [2,4] D4h |
*342 [3,4] Oh |
*442 [4,4] P4m |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[iπ/λ,4] | |
| 大斜方截半 頂點 |
 4.8.4 |
 4.8.6 |
 4.8.8 |
 4.8.10 |
 4.8.12 |
 4.8.14 |
 4.8.16 |
 4.8.∞ |
4.8.∞ |
| 考克斯特紀號 施萊夫利符號 |
  tr{2,4} |
 tr{3,4} |
tr{4,4} |
 tr{5,4} |
tr{6,4} |
 tr{7,4} |
 tr{8,4} |
 tr{∞,4} |
 tr{iπ/λ,4} |
| 大斜方截半 對偶 |
 V4.8.4 |
 V4.8.6 |
 V4.8.8 |
 V4.8.10 |
 V4.8.12 |
 V4.8.14 |
 V4.8.16 |
 V4.8.∞ |
V4.8.∞ |
| 考克斯特紀號 |
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參見
編輯
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參考文獻
編輯- ^ Theoni Pappas:《數學放輕鬆》, 陳以鴻譯, 台北市, 世茂出版社，ISBN 957-776-611-0，第65頁
- ^ 1994 M. C. Escher《Circle Limit IV》, 1960, CAordon Art-Baarn-Holland
- ^ E.H貢布里西:《秩序感》，范景中、楊思梁、徐一維譯，長沙，湖南科學技術出版社，2000年版，第10頁
- ^ 張小華, 吳衛:. 《埃舍尔作品风格转变新论——艺术与科学相恋：从契合到渐变再到分形》. 湖南工業大學 包裝設計藝術學院: 2.3 分形風格的蒂落 ，. 2006-09-29 [2014-06-16]. （原始內容存檔於2014-07-14）.
- ^ The symmetry of M.C. Escher’s Circle Limit IV pattern and related patterns (PDF). d.umn.edu. [2014-06-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-12-23）.
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p.58-65)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p41