內測度

在測度論中，內測度是定義在某個給定的集合的冪集上的一個函數，滿足一些限制。內測度可以直觀地理解為一個集合大小的下界。

定義

內測度是一個對某個集合X的所有子集有定義的一個函數

$\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ],$

滿足下列條件:

• 空集: 空集的內測度為 0。

$\varphi (\varnothing )=0$

• 超加性：對兩個交集為空的集合A和B，有

$\varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).$

• 集合降鏈的極限：對一個集合序列$A_{j}$，若對於所有的j滿足$A_{j}\supseteq A_{j+1}$，且$\varphi (A_{1})<\infty$，則

$\varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})$

• 若集合A滿足$\varphi (A)=\infty$，則對所有正數c, 存在A的一個子集B，使得

$c\leq \varphi (B)<\infty$

參考

• Halmos, Paul R., Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, pp. 58.
• A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970, ISBN 0-486-61226-0 (Ch. 7)