內部代數

在抽象代數中，內部代數是採用了集合的拓撲內部概念的特定類型的代數結構。內部代數之對於拓撲和模態邏輯 S4 如同布爾代數之對於集合論和普通命題邏輯。內部代數形成了模態代數的一個簇。

定義

內部代數是帶有如下標識(signature)的代數結構< S, ·, +, ', 0, 1, ^I >，其中< S, ·, +, ', 0, 1 >是布爾代數，後綴 ^I 是一元運算內部算子，它滿足如下恆等式：

1. x^I ≤ x
2. x^II = x^I
3. (xy)^I = x^Iy^I
4. 1^I = 1

x^I 叫做 x 的內部。

內部算子的對偶是閉包算子^C，定義為 x^C = ((x ')^I )'。x^C 叫做 x 的閉包。通過對偶原理，閉包算子滿足如下恆等式:

1. x^C ≥ x
2. x^CC = x^C
3. (x + y)^C = x^C + y^C
4. 0^C = 0

如果閉包算子被選取為原始的，則內部算子可以定義為 x^I = ((x ' )^C)'。所以內部代數的理論可以使用閉包算子替代內部算子來形式化，這種情況下，考慮的是形如 < S, ·, +, ', 0, 1, ^C > 的閉包代數，這裡的 < S, ·, +, ', 0, 1 > 是布爾代數而 ^C 是滿足上述恆等式的閉包算子。閉包代數和內部代數形成了對偶對，它們是「帶有算子的布爾代數」的例證。關於這個主題(主要是波蘭拓撲學)的早期文獻涉及了閉包算子，但是內部算子的形式化最終成為標準。

開放和閉合元素

內部代數的元素被稱為開的，當且僅當x^I = x，開元素的補被稱為閉的並，這也等價於x^C = x。顯然，一個元素的內部總是開的而閉包總是閉的。

既開又閉的元素叫做閉開的。顯然，0 和 1 是閉開的。

閉元素的內部稱為正規開的，開元素的閉包稱為正規閉的。

內部代數稱為布爾的，若它的元素都是開的(因此是閉開的)。布爾內部代數可以同一於普通布爾代數，因為它們的內部和閉包算子不提供有意義的額外結構。特殊情況是平凡內部代數類，它們是特徵化為恆等式 0 = 1 的單一元素的內部代數。

內部代數的態射

同態

內部代數作為代數結構的優點是有同態。給定兩個內部代數 A 和 B，映射 f : A → B 是內部代數同態，當且僅當 f 是底層布爾代數 A 和 B 之間的同態，它還保持內部和閉包。所以:

• f(x^I) = f(x)^I；
• f(x^C) = f(x)^C。

拓撲態射

拓撲態射(topomorphism)是另一種重要的更一般性的在內部代數之間的態射。映射 f : A → B 是拓撲態射，當且僅當 f 是在底層布爾代數 A 和 B 上的同態，並且還保持 A 的開放和閉合元素。所以:

• 如果 x 在 A 中開放的，則 f(x) 在 B 中是開放的；
• 如果 x 在 A 中閉合的，則 f(x) 在 B 中是閉合的。

所有內部代數同態都是拓撲態射，當時不是所有拓撲態射都是內部代數同態。

與其他數學領域的關係

拓撲學

給定一個拓撲空間 X = < X, T >，你可以形成 X 的冪集布爾代數:

< P(X), ∩, ∪, ', ø, X >

並擴展它為一個內部代數

A(X) = < P(X), ∩, ∪, ', ø, X, ^I >

這裡的 ^I 是普通的拓撲內部算子，定義為

S ^I = $\cup$ { O ∈ T : O ⊆ S } 對於所有的 S ⊆ X

對應的閉包算子定義為

S ^C = $\cap$ { C : S ⊆ C 並且 C 閉合在 X 中} 對於所有的 S ⊆ X

在 X 中 S ^I 是 S 的最大開子集而 S ^C 是 S 的最小閉超集。內部代數 A(X) 的開放、閉合、正規開放、正規閉合和閉開元素就是 X 在通常拓撲學意義上開集、閉集、正規開集、正規閉集和閉開集。

所有完全的原子內部代數都同構於為某個拓撲空間 X 形成的 A(X) 內部代數。此外所有內部代數都可以被嵌入到給內部代數以集合的拓撲域表示的那樣一個內部代數中。結構 A(X) 的性質就是定義內部代數的真正動機。因為這種與拓撲學的親密聯繫，內部代數也叫做拓撲布爾代數。

給定在兩個拓撲空間之間的連續映射

f : X → Y

我們可以定義完全拓撲態射

A(f) : A(Y) → A(X)

為

A(f)(S) = f ^-1[S]

對於 Y 的所有子集 S。在兩個完全原子內部代數之間的所有完全拓撲態射可以以這種方式導出。如果 Top 是拓撲空間和連續映射的範疇而 Cit 是完全原子內部代數和完全拓撲態射的範疇，則 Top 和 Cit 是對偶同構而 A : Top → Cit 是作為範疇的對偶同構的逆變函子。A(f) 是同態當且僅當 f 是連續開映射。

在這種範疇的對偶同構下很多自然的拓撲概念對應於代數性質，特別是連通性對應於不可簡約性質:

• X 是空的當且僅當 A(X) 是平凡的
• X 是不可分的當且僅當 A(X) is 單純的
• X 是離散的當且僅當 A(X) 是布爾的
• X 是幾乎離散的當且僅當 A(X) 是半單純的
• X 是有限生成的(Alexandrov)當且僅當 A(X) 是算子完備的，就是說它的內部和閉包算子分別分配於任意交和並之上。
• X 是連通的當且僅當 A(X) 是直接不可分解的
• X 是超連通的當且僅當 A(X) 是有限次直接不可分解的
• X 是緊緻超連通的當且僅當 A(X) 是次直接不可分解的

廣義拓撲

依據開子集的拓撲的拓撲空間的現代公式化，激發了內部代數的可供選擇的公式化: 廣義拓撲空間是如下形式的代數結構

< B, ·, +, ', 0, 1, T >

這裡的 < B, ·, +, ', 0, 1 > 是普通的布爾代數，而 T 是在 B 上的一元關係(B 的子集)使得:

1. 0,1 ∈ T
2. T 閉合在任意並之下(就是說，如果 T 的任意子集的並存在則它就在 T 中)
3. T 閉合在有限交之下
4. 對於所有 B 的元素 b，並 ∑{a ∈T : a ≤ b} 存在

T 被稱為在布爾代數中的廣義拓撲。

給定一個內部代數它的開放元素形成了廣義拓撲。反過來給定一個廣義拓撲空間

< B, ·, +, ', 0, 1, T >

我們可以定義 B 上的一個內部算子為 b ^I = ∑{a ∈T : a ≤ b} 因此生成了其開放元素正好都是 T 的內部代數。所以廣義拓撲空間等價於內部代數。

把內部代數考慮為廣義拓撲空間，拓撲態射接着是帶有增加的算子的布爾代數的標準同態，所以可以應用來自泛代數的標準結果。

鄰域函數和鄰域半格

鄰域的拓撲概念可以推廣到內部代數：元素y被稱為是元素x的鄰域，當且僅當x ≤ y^I。x 的所有鄰域的集合 N(x) 構成形成鄰域濾子。這也導致了內部代數的另一種公式化:

在布爾代數上的鄰域函數是從它的底層集合B到它的濾子的集合的映射N使得：

1. 對於所有 x ∈ B，max { y ∈ B : x ∈ N(y) } 存在
2. 對於所有 x,y ∈ B，x ∈ N(y) 當且僅當有 z ∈ B 使得 y ≤ z ≤ x 並且 z ∈ N(z)。

內部代數的元素到它的鄰域的濾子的映射 N 是在內部代數底層的布爾代數上的鄰域函數。此外，給定帶有底層集合 B 的布爾代數上鄰域函數 N，我們可以定義一個內部算子為 x^I = max { y ∈ B : x ∈ N(y) } 從而獲得一個內部代數。接着 N(x) 正好就是這個內部代數內 x 在的領域的濾子。所以內部代數等價於帶有指定鄰域函數的布爾代數。

依據領域函數，開放元素正好就是那些元素 x 使得 x ∈ N(x)。依據開元素 x ∈ N(y) 當且僅當有開元素 z 使得 y ≤ z ≤ x。

領域函數可以更一般的定義在(交)-半格上生成叫做鄰域半格的結構。內部代數可以被看作就是布爾鄰域格，就是說底層半格形成布爾代數的領域格。

模態邏輯

給定在模態邏輯 S4中一個理論(形式句子的集合) M，我們可以形成它的 Lindenbaum-Tarski代數:

L(M) = < M / ~, ∧, ∨, ¬, F, T, □ >

這裡的 ~ 是在 M 中的句子的等價關係，p ~ q 當且僅當 p 和 q 在 M 中是邏輯等價的，而 M / ~ 是在這個關係下等價類的集合。則 L(M) 是內部代數。在這種情況下的內部算子對應於模態算子 □(必然性)，而閉包算子對應於 ◊(可能性)。這種結構是模態代數和模態邏輯的更一般結果的特殊情況。

L(M) 的開放元素對應於只在必然為真時為真的那些句子，而閉合元素對應於只在必然為假時為假的那些句子。

因為它們與 S4 的關係，內部代數有時叫做 S4 代數或 Lewis 代數，得名於邏輯學家 C. I. Lewis，他首先提議了模態邏輯 S4 和 S5。

預序

因為內部代數是帶有算子的(正常)布爾代數，它們可以被表示為在適當關係結構上集合域。特別是，因為它們是模態代數，它們可以被表示為在叫做 模態框架的一個單一二元關係上的集合的域。對應於內部代數的模態框架正好就是預序集合。預序集合(也叫做「S4-框架」)提供了模態邏輯 S4 的 Kripke語義，而在內部代數和預序之間的聯繫密切關聯於它們與模態邏輯的聯繫。

給定一個預序集合 X = < X, « > 我們可以構造一個內部代數

B(X) = < P(X), ∩, ∪, ', ø, X, ^I >

從 X 的冪集布爾代數，這裡的內部算子 ^I 定義為

S ^I = { x ∈ X : 對於所有 y ∈ X, x « y 蘊涵 y ∈ S } 對於所有 S ⊆ X。

對應的閉包算子定義為

S ^C = { x ∈ X : 存在 y ∈ S 使得 x « y } 對於所有 S ⊆ X。

S ^I 是從 S 之外的「世界」不可訪問的所有「世界」的集合，而 S ^C 是從在 S 之內的某個「世界」可以訪問的所有「世界」的集合。所有內部代數都可以嵌入為某個預序集合 X 形成內部代數 B(X) 中，給予上述提及的作為集合域(預序域)的表示。

這個構造和表示定理是對模態代數和模態框架的更一般結果的特殊情況。在這種考慮下，內部代數有着特定價值，因為它們聯繫於拓撲學。這種構造提供了帶有拓撲的預序集合 X ，這個Alexandrov拓撲生成拓撲空間 T(X)，它的開集是:

{ O ⊆ X : 對於所有 x ∈ O 和所有 y ∈ X, x « y 蘊涵 y ∈ O }。

對應的閉集是:

{ C ⊆ X : 對於所有 x ∈ C 和所有 y ∈ X, y « x 蘊涵 y ∈ C }。

換句話說，開集的「世界」從外部(上部集合)是不可訪問的，而閉集從內部(下部集合)是不能訪問所有外部「世界」的。此外 B(X) = A(T(X))。

一元布爾代數

任何一元布爾代數都可以被認為是內部算子是全稱量詞而閉包算子是存在量詞的內部代數。一元布爾代數正好就是滿足恆等式 x^IC = x^I 的內部代數的一個簇。換句話說，它們正好是其中所有開放元素都是閉合的，或者等價的說所有閉合元素都是開發的內部代數。此外，這種內部代數正好是半單純內部代數。它們也是對應於模態邏輯 S5 的內部代數，所以也叫做 S5 代數。

由於預序集合和內部代數之間的聯繫，它們對應的預序是等價關係，反映了這種預序集合為 S5 提供了 Kripke 語義的事實。這還反映了在量化的一元邏輯(一元布爾代數為它提供了代數描述)和 S5 之間的聯繫，這裡的模態算子 □(必然性)和 ◊(可能性)可以在使用模態全稱和存在量化的 Kripke 語義中解釋，而不需要藉助可及關係。

Heyting代數

內部代數的開放元素形成了Heyting代數而閉合元素形成了對偶 Heyting 代數。正規開放元素和正規閉合元素分別對應於這些代數的偽補元和對偶的偽補元，因而形成了布爾代數。閉開元素對應於補元素，因而形成了這些布爾代數和這個內部代數自身的公共子代數。所有 Heyting代數可以被表示為內部代數的開放元素。

Heyting 代數對直覺邏輯扮演了內部代數對於模態邏輯 S4 和布爾代數對於命題邏輯的相同角色。在 Heyting 代數和內部代數之間的聯繫反映了在直覺邏輯和 S4 之間的聯繫，直覺邏輯的理論可以被解釋為閉合在必然性下的 S4 理論。

導出代數

給定一個內部代數 A，閉包算子服從導出算子 ^D  的公理。因此通過採用閉包算子為導出算子，可以形成與 A 有相同底層布爾代數的導出代數 D(A)。

所以內部代數是導出代數。從這個角度看，它們正好是滿足恆等式 x^D ≥ x 的導出代數的一個簇。導出代數為模態邏輯 WK4 提供了適當的代數語義。所以導出代數對應於拓撲導出集合和 WK4，如同內部/閉包代數的對應於拓撲內部/閉包和 S4。

給定帶有導出算子 ^D 的導出代數 V，我們可以形成與 V 有相同底層布爾代數的一個內部代數 I(V)，帶有內部和閉包算子分別定義為 x^I = x·x ' ^D ' 和 x^C = x + x^D。所以所有導出代數都可以被當作內部代數。此外給定一個內部代數 A，我們有 I(D(A)) = A。但是，D(I(V)) = V 不對於所有導出代數 V 成立。

元數學

Gregorczyk 證明了閉包代數的基本理論的不可決定性。

引用

• Blok, W.A., 1976, Varieties of interior algebras, Ph.D. thesis, University of Amsterdam.
• Esakia, L., 2004, "Intuitionistic logic and modality via topology," Annals of Pure and Applied Logic 127: 155-70.
• McKinsey, J.C.C. and Alfred Tarski, 1944, "The Algebra of Topology," Annals of Mathematics 45: 141-91.
• Naturman, C.A., 1991, Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics.