馮諾依曼代數

數學中，馮諾依曼代數或W*-代數是希爾伯特空間上有界算子的*-代數，在弱算子拓撲中封閉，並包含恆等算子，是一類特殊的C*-代數。馮諾依曼代數由約翰·馮·諾依曼提出，源於對單算子、群表示論、遍歷理論和量子力學的研究。馮諾依曼雙連續定理表明，解析定義等同於作為對稱性代數的純代數定義。

馮諾依曼代數的兩個基本例子：

實線上本質有界的可測函數環 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 是交換馮諾依曼代數，其元素在平方可積函數的希爾伯特空間 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上通過逐點乘充當乘法算子。
希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上所有有界算子的代數 ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ 是馮諾依曼代數，若希爾伯特空間維度至少為2，則是非交換的。

von Neumann (1930)在1929年首次研究了馮諾依曼代數，他和Francis Murray在20世紀30、40年代撰寫的一系列論文中（F.J. Murray & J. von Neumann 1936, 1937, 1943、J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949）稱之為算子環，發展了馮諾依曼代數的基本理論，重印於von Neumann (1961)。

關於馮諾依曼代數的介紹見Jones (2003)、Wassermann (1991)的注，及Dixmier (1981)、Schwartz (1967)、Blackadar (2005)、Sakai (1971)等書。Takesaki (1979)的系列著作對馮諾依曼代數進行了百科全書式闡述。Connes (1994)討論了更高級的主題。

定義

馮諾依曼代數有3種常見定義。

（希爾伯特空間上的）有界算子的弱閉 *-代數（包含恆等）。這定義中，弱（算子）拓撲可換成其他常見拓撲，如強、超強、超弱算子拓撲。在範數拓撲下封閉的有界算子的*-代數是C*-代數，因此馮諾依曼代數都是C*-代數。
對對合（*-運算）封閉的有界算子的子代數，且等於其雙交換子，或等價於在*下封閉的某子代數的交換子。馮諾依曼雙交換定理(von Neumann 1930)指出，前兩個定義等價。
前兩個定義將馮諾依曼代數描述為作用於某給定希爾伯特空間的算子集。Sakai (1971)指出，馮諾依曼代數也可抽象地定義為有預對偶的C*-代數；也就是說，馮諾依曼代數作為巴拿赫空間是另一些巴拿赫空間的對偶，稱作預對偶。馮諾依曼代數的預對偶在同構意義上是唯一的。有人用「馮諾依曼代數」表示與希爾伯特空間作用匹配的代數，「W*-代數」表示抽象概念，於是，馮諾依曼代數是W*-代數、希爾伯特空間與其上合適的忠實酉作用構成的。馮諾依曼代數的具體定義和抽象定義同C*-代數類似，後者可定義為希爾伯特空間上算子的對範數封閉的*-代數，或滿足 $||aa^{*}||=||a||\ ||a^{*}||$ 的巴拿赫*-代數。

術語

馮諾依曼代數中一些術語可能令人困惑，且在本理論之外往往有不同含義。

因子（factor）是具有平凡中心的馮諾依曼代數，即中心只含標量算子。
有限馮諾依曼代數是有限因子的直積分（即馮諾依曼代數有忠實的正規跡態 $\tau :M\rightarrow \mathbb {C}$ ^[1]）。同樣，緊合無限（properly infinite）馮諾依曼代數是緊合無限因子的直積分。
作用於可分希爾伯特空間的馮諾依曼代數也可分，注意這類代數在範數拓撲中常常不再可分。
希爾伯特空間上有界算子集生成的馮諾依曼代數是包含所有算子的最小馮諾依曼代數。

兩希爾伯特空間上各自馮諾依曼代數的張量積是由代數張量積生成的馮諾依曼代數，被視作希爾伯特空間的張量積上的算子。

遺忘馮諾依曼代數上的拓撲，就可將其看做（含幺）*-代數，或就只是一個環。馮諾依曼代數是半遺傳的：射影模的每個有限生成子模也是射影的。馮諾依曼代數的底環有多次公理化嘗試，如貝爾*-環、AW*-代數等。有限馮諾依曼代數的隸屬算子的*-代數是馮諾依曼正則環。（馮諾依曼代數本身一般不是馮諾依曼正則的）

交換馮諾依曼代數

交換馮諾依曼代數和測度空間的關係類似於交換C*-代數和局部緊豪斯多夫空間的關係。對度量空間 $(X,\ \mu )$ ，交換馮諾依曼代數都同構於 $L^{\infty }(X)$ ；反之，對σ-有限度量空間，*-代數 $L^{\infty }(X)$ 都是馮諾依曼代數。

於是，馮諾依曼代數理論也稱作非交換測度論，C*-代數理論也稱作非交換拓撲(Connes 1994)。

投影

馮諾依曼代數中，滿足 $E=EE=E^{*}$ 的算子E稱作投影，是H在某閉子空間上的正交投影算子。若希爾伯特空間H的子空間是M中某投影的像，則稱其屬於馮諾依曼代數M，這建立了M的投影和屬於M的子空間之間建立了一一對應關係。非正式地說，子空間是可用M的元素來描述的閉空間。

可以證明，M中任意算子的像的閉包和M中任意算子的核都屬於M；另外，屬於M的任何子空間在M的算子下的像的閉包也屬於M（這些是極分解的結果）。

投影比較理論

投影的基本理論由Murray & von Neumann (1936)提出。屬於M的兩子空間若存在屬於馮諾依曼代數的部分等距映射，將一者同構地映射到另一者，則稱它們（穆雷-馮諾依曼）等價。若相應子空間等價，或有H的部分等距，將E的像同構映射到F的像，且是馮諾依曼代數的元素，則稱E等價於F。另一種說法是，若對M中某部分等距u，滿足 $E=uu^{*},\ F=u^{*}u$ ，則稱E等價於F。

由此定義的等價關係~是可加的：設 $E_{1}\sim F_{1},\ E_{2}\sim F_{2}$ 。若 $E_{1}\perp E_{2},\ F_{1}\perp F_{2}$ ，則 $E_{1}+E_{2}\sim F_{1}+F_{2}$ 。若在~的定義中要求酉等價（對幺元u，若 $u^{*}Eu=f$ ，則 $E\sim F$ ），那麼可加性一般不成立。薛定諤-伯恩斯坦定理給出了穆雷-馮諾依曼等價的充分條件。

屬於M的子空間通過包含而部分有序，產生了投影的偏序≤。在投影的等價類集上還有一個自然偏序，來自投影的偏序≤。若M是因子，則≤是投影等價類上的總階，下詳。

若不存在等價於E的投影F < E（即 $F\leq E,\ F\neq E$ ），則稱投影（或屬於M的子空間）E為有限投影。例如，有限維投影（或子空間）都有限（因為希爾伯特空間之間的等距性使維數固定不變），而無限維希爾伯特空間上的恆等算子在其上所有有界算子的馮諾依曼代中並不是有限的，因為其與自身的一個適當子集同構。不過，無限維子空間也有可能有限。

正交投影是 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 中指示函數的非交換類似物。 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 是由指示函數生成的子空間的 $||\cdot ||_{\infty }$ 閉包。同樣，馮諾依曼代數有其投影生成，這是自伴算子譜定理的結果。

有限因子的投影形成連續幾何。

因子

馮諾依曼代數N的中心只由恆等算子的倍數組成，稱作因子。Von Neumann (1949)證明，可分希爾伯特空間上的馮諾依曼代數都同構於因子的直積分，這一分解是本質唯一的。因此，可分希爾伯特空間上馮諾依曼代數同構類的分類可轉化為因子同構類的分類問題。 Murray & von Neumann (1936)指出，因子可分3類。類型分類可推廣到非因子的馮諾依曼代數。若馮諾依曼代數可分解為X型因子的直積分，則就是X型的，例如交換馮諾依曼代數都是I₁類。馮諾依曼代數都可唯一地寫成I、II、III類馮諾依曼代數之和。

還有其他幾種分類因子的方法：

若因子是I類，則稱其離散；若是II類或III類，則稱其連續。
若因子是I或II類，則稱其半無限；若因子是II類，則稱其純無限。
若投影1是有限的，則稱因子有限，否則稱緊合無限。I、II類因子可能有限也可能緊合無限，III類因子總是緊合無限的。

I類因子

若存在最小的投影 $E\neq 0$ ，使得不存在投影F滿足 $0<F<E$ ，則稱其為I類因子。I類因子都同構於某希爾伯特空間上所有有界算子的馮諾依曼代數，因為每個基數都有希爾伯特空間，I類因子的同構類是與基數完全對應的。很多學者只考慮可分希爾伯特空間上的馮諾依曼代數，因此習慣上把有限n維希爾伯特空間上的有界算子稱作 ${\rm {I}}_{n}$ 型因子，可分無限維希爾伯特空間上的有界算子則是 ${\rm {I}}_{\infty }$ 型因子。

II類因子

若不存在最小投影，但存在非零有限投影，則稱其為II類因子。這意味着每個投影E都可以「平分」，即有兩個穆雷-馮諾依曼等價的投影F、G，且滿足 $E=F+G$ 。若II類因子中的恆等算子有限，則是 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子；否則是 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子。最易理解的II型因子是Murray & von Neumann (1936)發現的超無限 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子、超無限 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子，是 ${\rm {II}}_{1}$ 、 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型中唯一的超無限因子。這類因子還有很多，都值得深入研究。Murray & von Neumann (1937)證明了一個基本結果： ${\rm {II}}_{1}$ 型因子具有唯一的有限跡態，投影的跡集為[0,1]。

${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子具有半無限跡，在縮放意義上唯一，投影的跡集為[0,∞]。 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子的基本群是實數λ集合，使得存在自同態，縮放跡λ倍。

${\rm {II}}_{1}$ 型因子與無限I型因子的張量積是 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型，反之，任何 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子都可這樣構造。 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子的基本群是因子與I型無限（可分）因子的張量積的基本群。多年來，人們一直在尋找基本群不是正實數群的II型因子，阿蘭·科納隨後證明，具有卡日丹性質 (T)的可數離散群（平凡表示在對偶空間中孤立）（如 ${\rm {SL}}(3,\ \mathbb {Z} )$ ）的馮諾依曼群代數具有可數基本群。後來，索林·波帕證明，特定群的基本群可能是平凡的，如 ${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {Z} )$ 對 $\mathbb {Z} ^{2}$ 的半直積。

${\rm {II}}_{1}$ 型因子的一個例子是可數無限離散群的馮諾依曼群代數，使每個非平凡共軛類都無限。 McDuff (1969)發現了一個具有非同構馮諾依曼群代數的不可數族，從而顯示了不可數多個可分 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子的存在。

III型因子

不含任何非零有限投影的因子是III型因子。Murray & von Neumann (1936)在第一篇論文中無法確定是否存在，von Neumann (1940)發現了第一個例子。由於恆等算子在這些因子中總是無限的，因此過去也稱作 ${\rm {III}}_{\infty }$ ，最近改做 ${\rm {III}}_{\lambda }$ ，其中λ是[0, 1]中的實數。更確切地說，若（其模群的）科納譜是1，則是 ${\rm {III}}_{0}$ 型因子；若科納譜為λ（ $0<\lambda <1$ ）的所有整數冪，則是 ${\rm {III}}_{\lambda }$ 型；若科納譜是所有正實數，則是 ${\rm {III}}_{1}$ 型（科納譜是正實數的閉子群，因此只有這些可能）。III型因子的唯一跡在所有正元素上取值為∞，任何兩個非零投影都等價。III型因子曾一度被認為是很棘手的對象，但富田–竹崎理論帶來了很好的結構理論。特別是，任何III型因子都可用正規方式寫成 ${\rm {II}}_{\infty }$ 型因子與實數的叉積。

預對偶

馮諾依曼代數M都有預對偶 $M_{*}$ ，是M上所有超弱連續線性泛函的巴拿赫空間。顧名思義，M（作為巴拿赫空間）是其預對偶的對偶。預對偶是唯一的，因為對偶為M的任何其他巴拿赫空間都與 $M_{*}$ 同構。Sakai (1971)證明了預對偶的存在是C*-代數中馮諾依曼代數的特徵。上文給出的預對偶定義似乎取決於M作用於的希爾伯特空間的選擇，因為它決定了超弱拓撲。不過也可定義為M上所有正正規線性泛函生成的空間（此處「正規」指應用於自伴算子的遞增網時保上界；或等價於投影的遞增序列）。預對偶 $M_{*}$ 是對偶 $M^{*}$ 的閉子空間（包含M上所有範數連續線性泛函），通常小些。 $M_{*}$ 不同於 $M^{*}$ 的證明是非構造性的，用很重要的方式使用了選擇公理。要展示在 $M^{*}$ 而不在 $M_{*}$ 中的元素非常困難，例如，馮諾依曼代數 $I^{\infty }(Z)$ 上的奇特正線性形式由自由超濾子給出，對應於進入C的奇特*-同態，並描述了Z的斯通-切赫緊化。

例子：

$\mathbb {R}$ 上本質有界函數的馮諾依曼代數 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 的預對偶是可積函數的巴拿赫空間 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 。 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 的對偶嚴格大於 $L^{1}(\mathbb {R} )$ ，例如，在 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 上推廣了有界連續函數 $C_{b}^{0}(\mathbb {R} )$ 的閉子空間上的狄拉克測度 $\delta _{0}$ 的泛函不能表為 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 中的函數。
希爾伯特空間H上有界算子的馮諾依曼代數 $B(H)$ 的預對偶是所有跡類算子（跡範數為 $||A||={\rm {Tr}}(|A|)$ ）的巴拿赫空間。跡類算子的巴拿赫空間本身是緊算子的C*-代數的對偶（自身不是馮諾依曼代數）。

權、狀態、跡

權、特殊狀態與跡在(Takesaki 1979)中有詳細討論。

馮諾依曼代數上的權 ω是從正元素（形式 $a^{*}a$ ）集到[0, ∞]的線性映射。
正線性泛函是ω(1)有限的權（或說是ω通過線性，到整個代數的擴張）。
狀態是 $\omega (1)=1$ 的權。
跡是 $\forall a,\ \omega (aa^{*})=\omega (a^{*}a)$ 的權。
跡狀態是 $\omega (1)=1$ 的跡。

因子都有跡，即非零投影的跡也非零，並且當且僅當投影無限時，投影的跡才是無限的。這樣的跡在重縮放的意義上是唯一的。對可分或有限的因子，當且僅當兩投影具有相同的跡時，它們等價。因子類型可從跡在因子投影上的可能值獲得，如下：

${\rm {I}}_{n}$ 型：對正數x， $0,\ x,\ 2x,\ \ldots ,\ nx$ （一般歸一化為 $x=1/n$ 或1）。
${\rm {I}}_{\infty }$ 型：對正數x， $0,\ x,\ 2x,\ \ldots ,\ \infty$ （一般歸一化為x = 1）。
${\rm {II}}_{1}$ 型：對正數x， $[0,\ x]$ （一般歸一化為x = 1）。
${\rm {II}}_{\infty }$ 型： $[0,\ \infty ].$
III型： $\{0,\ \infty \}.$

若馮諾依曼代數作用於含範數為1的向量v的希爾伯特空間，則泛函 $a\to (av,\ v)$ 是正規狀態。這種構造可反過來從正規狀態給出對希爾伯特空間的作用，就是正規狀態的GNS構造。

因子上的模

給定抽象可分因子，可要求對其模（即其所作用的可分希爾伯特空間）進行分類。結果如下：每個模H都可給定一個M維的 ${\rm {dim}}_{M}(H)$ （而非作為復向量空間的維度），這樣，當且僅當它們有同樣的M維時，模相互同構。M維是可加的，當且僅當一個模m的M維不大於另一模n時，m與n的子空間同構。

若模有循環可分向量，則稱其是標準的。因子都有標準表示，在同構意義上唯一。標準表示有反線性對合J使 $JMJ=M'$ 。對有限因子，標準模由應用於唯一正規跡態的GNS構造給出，M維被歸一化，因此標準模的M維為1，而對無限因子，標準模是M維無窮大的模。

模的可能M維數如下：

${\rm {I}}_{n}$ （n有限）型：M維可以是 $0/n,\ 1/n,\ 2/n,\ 3/n,\ \ldots ,\ \infty$ 。標準模的M維數為1（復維數為2）。
${\rm {I}}_{\infty }$ 型：M維可以是 $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \infty$ 。 $B(H)$ 的標準表示是 $H\otimes H$ ，其M維數無窮大。
${\rm {II}}_{1}$ 型：M維可以是[0, ∞]中的任意數。歸一化後，標準模的M維數為1。M維也稱作模H的耦合常數。
${\rm {II}}_{\infty }$ 型：M維可以是[0, ∞]中的任意數。一般來說沒有規範方法歸一化，因子可能有外自同構，將M維乘以常數。標準表示是M維數無窮大的表示。
III型：M維可以是0或∞。任意兩個非零模都同構，所有非零模都是標準的。

可均馮諾依曼代數

Connes (1976)等人證明，可分希爾伯特空間H上的馮諾依曼代數M的下列條件等價：

M是'超無限或近似有限維（AFD）或近似有限的：代數包含有限維子代數的遞增序列的，具有稠密的交（注意有人用「超有限」表示「AFD且有限」）。
M是可均的（amenable）：在正規巴拿赫雙模中取值的M的導子都是內的。^[2]
M具有施瓦茨性質P：對H上任意有界算子T，元素 $uTu^{*}$ 的弱算子閉凸包包含與M交換的元素。
M 是半離散的：恆等映射 $M\to M$ 是秩有限的完全正映射的弱點極限。
M具有性質E或羽毛田–富山擴張性：從H上的有界算子到M '，有範數為1的投影。
M是單射：從任意含幺C*-代數A的任意含1自伴閉子空間到M的任何完全正映射，都可推廣為A到M的完全正映射。

上面這類代數沒有公認的術語，科納建議用可均。

可均因子已被分類：在 $0<\lambda \leq 1$ 的條件下， ${\rm {I}}_{n},\ {\rm {I}}_{\infty },\ {\rm {II}}_{1},\ {\rm {II}}_{\infty },\ {\rm {III}}_{\lambda }$ 各有一個， ${\rm {III}}_{0}$ 的對應某些遍歷流。（對 ${\rm {III}}_{0}$ 型，稱其為分類有點誤導，因為眾所周知，並沒有簡單的遍歷流分類方法。）I型與 ${\rm {II}}_{1}$ 型由Murray & von Neumann (1943)分類， ${\rm {III}}_{1}$ 由Haagerup分類，其餘的由Connes (1976)分類。

所有可均因子都能用穆雷和馮諾依曼對單一遍歷變換的群測度空間構造得到。事實上，它們正是Z或Z/nZ在阿貝爾馮諾依曼代數 $L^{\infty }(X)$ 上的自由遍歷作用的叉積產生的因子。測度空間X是原子的，且作用是傳遞的，則出現I型因子；X是擴散的或非原子的，則等價於[0,1]的測度空間。X具有等價有限（ ${\rm {II}}_{1}$ ）或無限（ ${\rm {II}}_{\infty }$ ）測度，且在Z的作用下不變時，出現II型因子；若無不變測度，只有不變測度類，則出現III型因子，稱作克里格因子（Krieger factor）。

馮諾依曼代數的張量積

兩希爾伯特空間的張量積是其代數張量積的完備化。可定義馮諾依曼代數的張量積（代數視作環的代數張量積的完備化），所得也是馮諾依曼代數，並作用於對應希爾伯特空間的張量積。兩有限代數的張量積有限，無限代數和非零代數的張量積無限。馮諾依曼代數張量積的類型取較大值。張量積交換定理指出

(M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },

其中M' 表示M的交換子。

無窮多馮諾依曼代數的張量積通常是個大得離譜的不可分代數。von Neumann (1938)指出，應在每個馮諾依曼代數上選取一個狀態，以定義代數張量積上的一個狀態，從而產生希爾伯特空間與（較小的）馮諾依曼代數。Araki & Woods (1968)研究了所有因子都是有閒矩陣代數的情形，這些因子稱作Araki–Woods因子或ITPFI因子（ITPFI表示「有限I型因子的無限張量積」）。無限張量積的類型可隨着狀態改變發生巨大變化，如無限多 ${\rm {I}}_{2}$ 型因子的無限張量積可具有任意類型，取決於狀態的選擇。特別是Powers (1967)對 ${\rm {I}}_{2}$ 型因子進行無限張量積，發現了 $0<\lambda <1$ 時不可數的非同構超無限 ${\rm {III}}_{\lambda }$ 型因子不可數族，稱作Powers因子，每個因子的狀態如下：

x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda  \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.

所有不是 ${\rm {III}}_{0}$ 的超無限馮諾依曼代數都同構於Araki–Woods因子，有不可數多的 ${\rm {III}}_{0}$ 型超無限馮諾依曼代數不同構。

雙模與子因子

雙模（或對應）是有兩個交換馮諾依曼代數的模作用的希爾伯特空間H。雙模的結構比模豐富得多。兩因子上的雙模總給出子因子，因為其中一因子總包含於另一因子的交換子中。此外，科納在雙模上發現了一種微妙的相對張量積運算。沃恩·瓊斯提出的子因子理論調和了這兩種看似迥異的觀點。

雙模對離散群Γ的馮諾依曼群代數M也很重要。事實上，若V是Γ的任意酉表示，將Γ視作Γ × Γ的對角子群， $I^{2}(\Gamma ,\ V)$ 上相應的誘導表示自然就是M的兩個交換副本的雙模。Γ的重要表示論性質完全可用雙模表述，因此對馮諾依曼代數本身也有意義。例如，科納和瓊斯以這種方式給出了馮諾依曼代數的卡日丹性質 (T)的類似定義。

不可均因子

I型馮諾依曼代數可均，其他類型則有不可數多種不可均因子，似乎很難分類，甚至很難相互區分。Voiculescu證明，來自群測度空間構造的不可均因子類與來自自由群的馮諾依曼代數群不相交。後來小澤登高證明，雙曲群的馮諾依曼代數群會產生素的 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子，即不能作為 ${\rm {II}}_{1}$ 型因子的張量積進行分解，這結果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，對自由群因子進行了證明。波帕關於不可均因子基本群的研究是另一項重大進展。目前「超無限之外」的因子理論正在迅速擴展，並取得了許多令人驚訝的成果，與幾何群論和遍歷理論中的剛性現象有密切關係。

例子

σ有限測度空間上的本質有界函數構成了作用於 $L^{2}$ 函數的交換（ ${\rm {I}}_{1}$ 型）馮諾依曼代數。對一些通常認為病態的非σ有限測度空間， $L^{\infty }(X)$ 不是馮諾依曼代數，如可測集的σ代數可能是不可數集上的可數-余可數代數。基本近似定理可用卡普蘭斯基稠密性定理表示。
任意希爾伯特空間上的有界算子構成馮諾依曼代數，實際上是I型因子。
若在希爾伯特空間H上的群G我們有任意酉表示，則與G交換的有界算子形成馮諾依曼代數G' ，其投影精確對應H在G下不變的閉子空間。等價子表示對應G' 中的等價投影。G的雙交換G' ' 也是馮諾依曼代數。
離散群G的馮諾依曼群代數是 $H=I^{2}(G)$ 上所有與G在H上的作用通過右乘交換的有界算子的代數。可以證明，這就是由與 $g\in G$ 的左乘相對的算子生成的馮諾依曼代數。若G的非平凡共軛類都無限（例如非阿貝爾自由群），則它就是（ ${\rm {II}}_{1}$ 型）因子；若G是有限子群的並（如固定了除有限多元素外所有整數的置換群），則就是 ${\rm {II}}_{1}$ 型超無限因子。
如上一節所述，兩馮諾依曼代數的張量積或有狀態的可數張量積是馮諾依曼代數。
可定義馮諾依曼代數與離散（更一般地，局部緊）群的叉積，也是馮諾依曼代數。特殊情形是穆雷合馮諾依曼的群測度空間構造，以及克里格因子。
可定義可測等價關係的馮諾依曼代數和可測廣群。這些例子概括了馮諾依曼群代數和群測度空間構造。

應用

馮諾依曼代數在紐結理論、統計力學、量子場論、局部量子力學、自由概率、非交換幾何、表示論、微分幾何與動力系統等領域都有應用。

例如，C*-代數為概率論提供了另一種公理化方法，稱作GNS構造。這類似於測度和積分的兩種方法，可以先構造集合的測度，再定義積分；或者先構造積分，再將集合度量定義為特徵函數的積分。

另見

參考文獻

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Murray, F.J.; von Neumann, J., On rings of operators II, Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society), 1937, 41 (2): 208–248, JSTOR 1989620, doi:10.2307/1989620  . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
Murray, F.J.; von Neumann, J., On rings of operators IV, Annals of Mathematics, Second Series, 1943, 44 (4): 716–808, JSTOR 1969107, doi:10.2307/1969107 . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II₁ are isomorphic.
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