切比雪夫濾波器

切比雪夫濾波器（又譯柴比雪夫濾波器，英語：chebyshev filter），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為「I型切比雪夫濾波器」，在阻帶波動的為「II型切比雪夫濾波器」。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。

四階第一類切比雪夫低通濾波器的頻率響應圖

這種濾波器來自切比雪夫多項式，因此得名，用以紀念俄羅斯數學家巴夫尼提·列波維奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性

I型切比雪夫濾波器

I型切比雪夫濾波器最為常見。

n階第一類切比雪夫濾波器的幅度與頻率的關係可用下列公式表示：

$G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}$

其中：

• $|\epsilon |<1$
• 而$|H(\omega _{0})|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$ 是濾波器在截止頻率$\omega _{0}$的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用於切比雪夫濾波器!)
• $T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)$ 是 $n$階切比雪夫多項式：

切比雪夫多項式

切比雪夫多項式

$T_{n}(\Omega )=\cos(n\cdot \arccos \ \Omega );0\leq \Omega \leq 1$

$T_{n}(\Omega )=\cosh(n\cdot \operatorname {(} arccosh\Omega );\Omega >1$

其中 $\Omega ={\frac {\omega }{\omega _{0}}}$

或:

$T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}+a_{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}+\,\cdots \,+a_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{n};0\leq \omega \leq \omega _{0}$

$T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)={\frac {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{n}+\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{-n}}{2}};\omega >\omega _{0}$

n	切比雪夫多項式
0	1
1	$\Omega$
2	$-1+2*\Omega ^{2}$
3	$4\Omega ^{3}-3\Omega$
4	$1+8\Omega ^{4}-8\Omega ^{2}$
5	$16\Omega ^{5}-20\Omega ^{3}+5\Omega$
6	$-1+32\Omega ^{6}-48\Omega ^{4}+18*\Omega ^{2}$
7	$64\Omega ^{7}-112\Omega ^{5}+56\Omega ^{3}-7\Omega$
8	$1+128\Omega ^{8}-256\Omega ^{6}+160\Omega ^{4}-32\Omega ^{2}$
9	$256\Omega ^{9}-576\Omega ^{7}+432\Omega ^{5}-120\Omega ^{3}+9\Omega$
10	$-1+512\Omega ^{10}-1280\Omega ^{8}+1120\Omega ^{6}-400\Omega ^{4}+50\Omega ^{2}$

切比雪夫濾波器的階數等於此濾波器的電子線路內獨立的電抗元件（或元件組）數。

切比雪夫濾波器的幅度波動 = $20\log _{10}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$分貝

當 $\epsilon =1$,切比雪夫濾波器的幅度波動= 3分貝。

如果需要幅度在在阻頻帶邊上衰減得更陡峭，可允許在複平面的 $j\omega$軸上存在零點。但結果會使通頻帶內振幅波動較大，而在阻頻帶內對信號抑制較弱。 這種濾波器叫橢圓函數濾波器或考爾濾波器。

II型切比雪夫濾波器

也稱倒數切比雪夫濾波器，較不常用，因為頻率截止速度不如I型快，也需要用更多的電子元件。II型切比雪夫濾波器在通頻帶內沒有幅度波動，只在阻頻帶內有幅度波動。

II型切比雪夫濾波器的轉移函數為：

$\left|H(\omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}$

參數 ε 與 阻頻帶的 衰減度 γ 有如下關係：

$\epsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0.1\gamma }-1}}}$ 分貝。

5分貝衰減度相當於ε = 0.6801; 10分貝衰減度相當於 ε = 0.3333。

截止頻率 f_C = ω_C/2 π。

-3分貝頻率f_H 和截止頻率 f_C 有如下關係：

$f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\epsilon }}\right)$

使用範圍

• 如果需要快速衰減而允許通頻帶存在少許幅度波動，可用第一類切比雪夫濾波器；如果需要快速衰減而不允許通頻帶存在幅度波動，可用第二類切比雪夫濾波器。

與其他濾波器的比較

下圖比較四種同階低通濾波器：（左上）巴特沃斯濾波器、（右上）I型切比雪夫濾波器、（左下）II型切比雪夫濾波器（右下）橢圓函數濾波器。

兩類切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器陡峭； 但不如橢圓函數濾波器，然而後者幅度波動較大。

參考

• 貝塞耳濾波器
• 巴特沃斯濾波器
• 梳狀濾波器
• 橢圓函數濾波器

參考文獻

• Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
• Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978