勾股數

勾股數，又名商高數或勾股數（Pythagorean triple），是由三個正整數組成的數組；能符合勾股定理（畢式定理）「 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 」之中， $(a,b,c)$ 的正整數解。而且，基於勾股定理的逆定理，任何邊長是勾股數組的三角形都是直角三角形。

如果 $(a,b,c)$ 是勾股數，它們的正整數倍數，也是勾股數，即 $(na,nb,nc)$ 也是勾股數。若果 $(a,b,c)$ 三者互質（它們的最大公因數是 1），它們就稱為素勾股數或本原勾股數組。

找出素勾股數

以下的方法可用來找出素勾股數。設 $m>n$ 、 $m$ 和 $n$ 均是正整數，

a=m^{2}-n^{2}

b=2mn

c=m^{2}+n^{2}

若 $m$ 和 $n$ 是互質，而且 $m$ 和 $n$ 為一奇一偶，計算出來的 $(a,b,c)$ 就是素勾股數。（若 $m$ 和 $n$ 都是奇數， $(a,b,c)$ 就會全是偶數，不符合互質。）

所有素勾股數可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。

例子

以下是小於 100 的素勾股數：

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些勾股數組可以有同一個最小的勾股數。第一個例子是 20 ，它在以下兩組勾股數之中出現： $(20,21,29)$ 與 $(20,99,101)$ 。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現 $(3,4,5)$ 及 $(5,12,13)$ 。

在 15,386 組素勾股數的 1229779565176982820 ，它的最小與最大的勾股數組是：

1229779565176982820

1230126649417435981

1739416382736996181

與

1229779565176982820

378089444731722233953867379643788099

378089444731722233953867379643788101

試考慮它的質因數分解

1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47

它質因數的個數涉及不少素勾股數。當然，數學上存在比它大的素勾股數。

性質

對於本原勾股數組 $(a,b,c)$ ， $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，我們有

$a,b,c$ 兩兩互質
$a,b$ 其中一個是3的倍數
$a,b$ 其中一個是4的倍數
$a,b,c$ 其中一個是5的倍數

對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數 $\equiv 0,1{\pmod {3}}$ 若 $a,b$ 都不是3的倍數，則 $a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$ ，導致 $c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$ 矛盾，所以 $a,b$ 一定有且只有一個數是3的倍數。

因為 $(a,b,c)$ 是本原勾股數組，所以必有 $a,b$ 一奇一偶。不妨設 $a$ 為奇數， $b$ 為偶數，這時候對 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 兩邊同時 ${\bmod {8}}$ ，則會得到 $b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}$ ，故 $4\mid b$ ，所以 $a,b$ 一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數 $\equiv 0,1,4{\pmod {5}}$ 若 $a,b,c$ 都不是5的倍數，則 $a^{2}+b^{2}\equiv 0$ 或 $2$ 或 $3{\pmod {5}}$ ，而 $c^{2}\equiv 1$ 或 $4{\pmod {5}}$ ，矛盾，所以 $a,b,c$ 一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋勾股數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數^[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如 $(27,364,365)$ 並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是 $(27,36,45)$ ，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數 $x$ ， $x^{2}+1$ 、 $x^{2}-1$ 與 $2x$ ，三個數必為畢氏數^[1]，例如：代入 $x$ 為2，則 $x^{2}+1$ 為5， $x^{2}-1$ 為3， $2x$ 為4， $(3,4,5)$ 為一組畢氏數。

推廣

費馬最後定理指出，若 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ，而 $n$ 是大於 2 的整數， $(a,b,c)$ 即沒有正整數解。

參見

外部連結

談費瑪最後定理第 2 頁
勾股定理
Javascript 計算器，用以計算 ( $m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}$ ) 公式，以及如何推論此公式。
120 三元數組 (doc)

^ ^1.0 ^1.1 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. （原始內容 (PDF)存檔於2022-10-12）.

[五四三-1] 1.0 ^1.1 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. （原始內容 (PDF)存檔於2022-10-12）.

[1]

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97