可分離變量的微分方程

主條目：分離變數法

${\displaystyle }$可分離變量的微分方程也叫做變量分離方程，指的是形如 ${\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)$的方程.

等價定義

可化為$g(y)dy=f(x)dx$的方程，稱為可分離變量的微分方程.

一般解法(求通解)

分離變量法：

對${\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)$，若$\varphi (y)\neq 0$則 ${\frac {dy}{\varphi (y)}}=f(x)dx$，兩邊取不定積分，得 $\int {\frac {dy}{\varphi (y)}}=\int f(x)dx\,+c$，這裡$\int {\frac {dy}{\varphi (y)}}$和$\int f(x)dx\,$理解為某個確定的原函數，$c$為任意常數.

對$g(y)dy=f(x)dx$也是一樣的解法.

初值問題（求特解）

1.不定積分法

以$g(y)dy=f(x)dx$為例，若給初始條件$y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}$,則對$g(y)dy=f(x)dx$兩邊取不定積分，得

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$,將初始條件代入,求得

$c=c_{0}$,再代回原方程即得所要求的特解$F(x,y)$.

2.變上限積分法

仍以$g(y)dy=f(x)dx$為例，若給初始條件$y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}$,對$g(y)dy=f(x)dx$兩邊取不定積分，得

$G(y)=F(x)+c$,其中$G(y),F(x)$分別為$g(y),f(x)$的一個原函數，代入初始條件，有

$G(y_{0})=F(x_{0})+c\Rightarrow c=G(y_{0})-F(x_{0})$,代回原方程得特解為$G(y)=F(x)+G(y_{0})-F(x_{0})$,即

$G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})$,根據牛頓—萊布尼茨公式，可知

$\int _{y_{0}}^{y}g(u)du=\int _{x_{0}}^{x}f(v)dv$,在不混淆的時候，可寫為

$\int _{y_{0}}^{y}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$.

所以可以用兩邊取變上限積分的方法求這類初值問題.

若又給條件$y\mid _{x=x_{1}}=y_{1}$,將此條件代入$G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})$,得

$G(y_{1})-G(y_{0})=F(x_{1})-F(x_{0})$,即

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx$.

參考資料

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之銘等編 高等教育出版社

2.《高等數學（第六版）》同濟大學

3.《微積分（第二版）》同濟大學應用數學系

4.《微積分學習指導書》同濟大學應用數學系