概率論方向統計學中,圓均勻分布(英語:circular uniform distribution)是單位圓上均勻的概率分布。

描述

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圓均勻分布的概率密度函數是:

 

用圓變量 來表示,圓均勻分布的n(n>0)階圓矩 都為0。

平均值的分布

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從一個圓均勻分布取得的 個測量值 的樣本平均為:

 

其中[1]

 

平均長度

 

平均角度

 

圓均勻分布的樣本平均的取值集中在0的附近,隨着N增大而更加集中。均勻分布的樣本平均的分布為[2]

 

其中  的使得  為常數的子空間。角度分布 是均勻的

 

 的分布為:

 
 
圓均勻分布的樣本平均的分布(N=3),蒙特卡洛模擬,1萬點。

其中 是0階貝塞爾函數。上面的積分沒有已知的解析解,也很難作近似估計,因為被積函數有大量震盪。

對於某些特殊情況,上面的積分式可以求出來,例如N=2:

 當N很大時,平均值的分布可以由方向統計學的中心極限定理確定。由於角度是均勻分布的,每個角的正弦和餘弦服從分布:

 其中  。由此可得平均值為0,均值為1/2。根據中心極限定理,在大N極限下,  作為大量獨立同分布的隨機變量的和,近似於均值為0方差為1/2N的正態分布。

均勻分布的微分就是

 

其中 是長度為 的區間。這是圓分布的熵的最大值。

參考文獻

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  1. ^ "Transmit beamforming for radar applications using circularly tapered random arrays - IEEE Conference Publication". ieeexplore.ieee.org. Retrieved 22 April 2018.
  2. ^ Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.