圓均勻分布

在概率論與方向統計學中，圓均勻分布（英語：circular uniform distribution）是單位圓上均勻的概率分布。

描述

圓均勻分布的概率密度函數是：

$f_{CU}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}$

用圓變量$z=e^{i\theta }$來表示，圓均勻分布的n（n>0）階圓矩$\langle z^{n}\rangle$都為0。

平均值的分布

從一個圓均勻分布取得的$N$個測量值$z_{n}=e^{i\theta _{n}}$的樣本平均為：

${\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}$

其中

${\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})$

平均長度

${\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}$

平均角度

${\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,$

圓均勻分布的樣本平均的取值集中在0的附近，隨着N增大而更加集中。均勻分布的樣本平均的分布為：

${\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}$

其中$\Gamma$是$[0,2\pi )^{N}$的使得${\overline {R}}$與${\bar {\theta }}$為常數的子空間。角度分布$P({\bar {\theta }})$是均勻的

$P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}$

${\bar {R}}$的分布為：

$P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt$

圓均勻分布的樣本平均的分布（N=3），蒙特卡洛模擬，1萬點。

其中$J_{0}$是0階貝塞爾函數。上面的積分沒有已知的解析解，也很難作近似估計，因為被積函數有大量震盪。

對於某些特殊情況，上面的積分式可以求出來，例如N=2：

$P_{2}({\bar {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\bar {R}}^{2}}}}}$當N很大時，平均值的分布可以由方向統計學的中心極限定理確定。由於角度是均勻分布的，每個角的正弦和餘弦服從分布：

$P(u)du={\frac {1}{\pi }}{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}$其中$u=\cos \theta _{n}\,$或$\sin \theta _{n}\,$。由此可得平均值為0，均值為1/2。根據中心極限定理，在大N極限下，${\bar {C}}$與${\bar {S}}$作為大量獨立同分布的隨機變量的和，近似於均值為0方差為1/2N的正態分布。

熵

均勻分布的微分熵就是

$H_{U}=-\int _{\Gamma }{\frac {1}{2\pi }}\ln \left({\frac {1}{2\pi }}\right)\,d\theta =\ln(2\pi )$

其中$\Gamma$是長度為$2\pi$的區間。這是圓分布的熵的最大值。