大q-勒讓德多項式 是一個以基本超幾何函數 定義的正交多項式[ 1]
BIG Q-LEGENDER 2D PLOT
P
n
(
x
;
c
;
q
)
=
3
ϕ
2
(
q
−
n
,
q
n
+
1
,
x
;
q
,
c
q
;
q
,
q
)
{\displaystyle \displaystyle P_{n}(x;c;q)={}_{3}\phi _{2}(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)}
大q-勒讓德多項式滿足下列正交關係
∫
c
q
q
P
m
(
x
;
c
;
q
)
P
n
(
x
;
c
;
q
)
d
q
x
=
q
(
1
−
c
)
1
−
q
1
−
q
2
n
+
1
(
c
−
1
q
;
q
)
n
(
c
q
;
q
)
n
(
−
c
q
2
)
n
q
(
n
2
)
δ
m
n
{\displaystyle \int _{cq}^{q}P_{m}(x;c;q)P_{n}(x;c;q)d_{q}x=q(1-c){\frac {1-q}{1-q^{2n+1}}}{\frac {(c^{-1}q;q)_{n}}{(cq;q)_{n}}}(-cq^{2})^{n}q^{n \choose 2}\delta _{mn}}
大Q勒讓德多項式→勒讓德多項式
lim
q
→
1
P
n
(
x
;
0
;
q
)
=
P
n
(
2
x
−
1
)
{\displaystyle \displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x;0;q)=P_{n}(2x-1)}
c
=
0
{\displaystyle c=0}
驗證 將c=0代人7階(n=7)大q勒讓德多項式得：
q
L
=
P
n
(
x
;
0
;
q
)
=
1
+
q
(
1
−
q
)
2
−
q
x
(
1
−
q
)
2
−
q
9
(
1
−
q
)
2
+
x
q
9
(
1
−
q
)
2
−
1
q
6
(
1
−
q
)
2
+
x
q
6
(
1
−
q
)
2
+
q
2
(
1
−
q
)
2
−
x
q
2
(
1
−
q
)
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
q
2
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
−
5
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
q
10
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
(
1
−
x
q
2
)
q
3
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
(
1
−
q
3
)
−
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
−
5
)
(
1
−
q
−
4
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
q
10
)
(
1
−
q
11
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
(
1
−
x
q
2
)
(
1
−
x
q
3
)
q
4
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
(
1
−
q
3
)
−
2
(
1
−
q
4
)
−
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
−
5
)
(
1
−
q
−
4
)
(
1
−
q
−
3
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
q
10
)
(
1
−
q
11
)
(
1
−
q
12
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
(
1
−
x
q
2
)
(
1
−
x
q
3
)
(
1
−
x
q
4
)
q
5
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
(
1
−
q
3
)
−
2
(
1
−
q
4
)
−
2
(
1
−
q
5
)
−
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
−
5
)
(
1
−
q
−
4
)
(
1
−
q
−
3
)
(
1
−
q
−
2
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
q
10
)
(
1
−
q
11
)
(
1
−
q
12
)
(
1
−
q
13
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
(
1
−
x
q
2
)
(
1
−
x
q
3
)
(
1
−
x
q
4
)
(
1
−
x
q
5
)
q
6
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
(
1
−
q
3
)
−
2
(
1
−
q
4
)
−
2
(
1
−
q
5
)
−
2
(
1
−
q
6
)
−
2
+
(
1
−
q
−
7
)
(
1
−
q
−
6
)
(
1
−
q
−
5
)
(
1
−
q
−
4
)
(
1
−
q
−
3
)
(
1
−
q
−
2
)
(
1
−
q
−
1
)
(
1
−
q
8
)
(
1
−
q
9
)
(
1
−
q
10
)
(
1
−
q
11
)
(
1
−
q
12
)
(
1
−
q
13
)
(
1
−
q
14
)
(
1
−
x
)
(
1
−
q
x
)
(
1
−
x
q
2
)
(
1
−
x
q
3
)
(
1
−
x
q
4
)
(
1
−
x
q
5
)
(
1
−
x
q
6
)
q
7
(
1
−
q
)
−
2
(
1
−
q
2
)
−
2
(
1
−
q
3
)
−
2
(
1
−
q
4
)
−
2
(
1
−
q
5
)
−
2
(
1
−
q
6
)
−
2
(
1
−
q
7
)
−
2
{\displaystyle qL=P_{n}(x;0;q)=1+{\frac {q}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {qx}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right){q}^{2}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right){q}^{3}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right){q}^{4}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right){q}^{5}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right){q}^{6}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{-1}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-{q}^{14}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right)\left(1-x{q}^{6}\right){q}^{7}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}\left(1-{q}^{7}\right)^{-2}}
q
L
2
=
lim
q
→
1
q
L
=
−
1
+
56
x
+
3432
x
7
−
12012
x
6
+
16632
x
5
−
11550
x
4
+
4200
x
3
−
756
x
2
{\displaystyle qL2=\lim _{q\to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}}
另7階勒讓德多項式：
P
7
(
2
x
−
1
)
=
−
1
+
56
x
+
3432
x
7
−
12012
x
6
+
16632
x
5
−
11550
x
4
+
4200
x
3
−
756
x
2
{\displaystyle P_{7}(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}}
顯然qL2=P_7(2x-1) QED.
Andrews, George E. ; Askey, Richard , Classical orthogonal polynomials, Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (編), Polynômes orthogonaux et applications. Proceedings of the Laguerre symposium held at Bar-le-Duc, October 15–18, 1984., Lecture Notes in Math. 1171 , Berlin, New York: Springer-Verlag : 36–62, 1985, ISBN 978-3-540-16059-5MR 0838970 doi:10.1007/BFb0076530 Gasper, George; Rahman, Mizan, Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 2nd, Cambridge University Press , 2004, ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719 doi:10.2277/0521833574 Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F., Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , 2010, ISBN 978-3-642-05013-8MR 2656096 doi:10.1007/978-3-642-05014-5 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., http://dlmf.nist.gov/18 , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255MR 2723248
^ Roelof p443
