對稱差

數學上，兩個集合的對稱差是只屬於其中一個集合，而不屬於另一個集合的元素組成的集合。 集合論中的這個運算相當於布爾邏輯中的異或運算。

$A\operatorname {\triangle } B$的文氏圖。對稱差標為紅色。

集合$A$和$B$的對稱差通常表示為$A\operatorname {\triangle } B$，對稱差的符號在有些圖論書籍中也使用$\oplus$符號來表示。例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{3,4\}$的對稱差為$\{1,2,4\}$。所有學生的集合和所有女性的集合的對稱差為所有男性學生和所有女性非學生組成的集合。

定義

對稱差是集合間的運算，兩個集合$A$和$B$，其對稱差$A\operatorname {\triangle } B$有幾種等價的定義方式：

1. $A\operatorname {\triangle } B=(A-B)\cup (B-A)$
2. $A\operatorname {\triangle } B=(A\cup B)-(A\cap B)$

性質

對稱差運算的主要性質包括：

交換律

$A\operatorname {\triangle } B=B\operatorname {\triangle } A$

結合律

$(A\operatorname {\triangle } B)\operatorname {\triangle } C=A\operatorname {\triangle } (B\operatorname {\triangle } C)$

單位元

$\varnothing \operatorname {\triangle } A=A$（空集是單位元）

逆元

$A\operatorname {\triangle } A=\varnothing$

分配律

$A\cap (B\operatorname {\triangle } C)=(A\cap B)\operatorname {\triangle } (A\cap C)$

注意：

$A\operatorname {\triangle } (B\cap C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cap (A\operatorname {\triangle } C)$

$A\cup (B\operatorname {\triangle } C)\neq (A\cup B)\operatorname {\triangle } (A\cup C)$

$A\operatorname {\triangle } (B\cup C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cup (A\operatorname {\triangle } C)$

布爾環

以對稱差作為加法，交集為乘法，任何集合$X$的冪集${\mathcal {P}}(X)$構成一個布爾環，並可以誘導一個同構的布爾代數。

綜上可得，採用對稱差運算，任意集合$X$的冪集是阿貝爾群。由於該群中所有元素都是其自身的負元，這個群實際上是二元域$Z_{2}$上的向量空間。若$X$有限，則以其為元素的單元素集合構成這個向量空間的基，那麼向量空間的維數等於$X$的元素個數。這種構造方法用於圖論，可定義圖的圈空間。

對稱差滿足的恆等式有：

$A\operatorname {\triangle } \varnothing =A$

$A\operatorname {\triangle } A=\varnothing$

$A\operatorname {\triangle } B=B\operatorname {\triangle } A$

$(A\operatorname {\triangle } B)\operatorname {\triangle } C=A\operatorname {\triangle } (B\operatorname {\triangle } C)$

$A\operatorname {\triangle } B=A\operatorname {\triangle } C\Rightarrow B=C$

與邏輯和布爾代數的關係

或者用異或運算（$\oplus$）表示：

$A\operatorname {\triangle } B=\{x\mid (x\in A)\oplus (x\in B)\}$

對稱差可以在任意布爾代數中定義，寫作：

$x\operatorname {\triangle } y=(x\lor y)\land \neg (x\land y)=(x\land \neg y)\lor (y\land \neg x)$

參考

• 樸素集合論
• 併集
• 交集
• 補集
• 不交並