標準布朗橋(英語:Brownian bridge)是概率論中常見的一個研究對象。 它是一種連續時間上的隨機過程, 在0和1處取值為0.
2個相互獨立的標準布朗橋
注意不要和布朗運動混淆。
布朗橋有時又被稱為綁在0和1處的布朗運動(此處僅為意譯)。
非標準的 布朗橋 只是在條件
下一般化的布朗橋。
标准的布朗桥 为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件 下的维纳过程 (Wiener Process)。
它首先是一個高斯過程, 也就是說隨機向量 在條件 下服從高斯分布。所以它可以由期望和協方差來刻畫:
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定義的備註
事件 的概率為0。 考慮滿足
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的事件 ,
我們可以考察條件分布 。 由依分布收斂 可得:
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這給出了布朗橋的一個嚴格定義。
性質1
設 為一個 維納過程 (或者 布朗運動), 那麼過程 :
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為一個標準的布朗橋。
相互定義
設 為一個標準的布朗橋, Z 是一個正態隨機變量,則過程 et :
- et
為 和 上的維納過程。
性質 2
設 為一個 維納過程, 則過程 :
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為一個標準布朗橋。
相互定義
設 為一個標準的布朗橋, 那麼過程 :
-
為一個維納過程。
也可以認為布朗橋是一種擴散過程。 事實上, 如果 是一種標準的布朗橋,隨機方程
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初始條件 的解和布朗橋同分布。
事實上, 是一個 馬氏過程,這個從布朗橋的定義中不容易看出。
設 為標準的布朗橋。
性質3
設 b 為一個實數,
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性質4
設 b 為一個正實數
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性質 5
設a et b 為2個正實數.
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性質6
設 x 為一個正實數
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