冪零元

此條目的主題是環論中的冪零元。關於群論中的冪零群，請見「冪零群」。

在抽象代數中，某個環R的一個元素x是一個冪零元，當存在一個正整數n，使得xⁿ等於加法中的零元素。

例子

• 首先來看一個矩陣中的例子。在3階方陣中，矩陣：

$A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}$

是一個冪零元，因為A³ = 0。

• 在商環Z/9Z中，同餘類3是一個冪零元，因為3²是同餘類0。

• 如果在不交換的環R中，a,b滿足ab=0。那麼元素c=ba（如果非零的話）是一個冪零元，因為c²=(ba)²=b(ab)a=0。在矩陣中的一個例子是：

$A_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\$

於是有 $A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0$

性質

在一個非平凡的交換環中，冪零元不可能是乘法的可逆元。每個冪零元顯然都是零因子。

在交換環中，所有的冪零元組成一個理想，稱作這個環的詣零根。每個素理想都包含所有的冪零元，實際上，所有素理想的交集就是環的詣零根。

如果x是冪零元，那麼1 − x就是一個可逆元，因為由xⁿ = 0 可得

(1 − x) (1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) = 1 − xⁿ = 1。

更一般地，在滿足交換律的情況下，可逆元與冪零元之和依然是一個可逆元。

一個域上的n階方陣是冪零元，當且僅當它的特徵多項式等於$t^{n}$。

參見

• 環