冪零矩陣(英語:nilpotent matrix)是一個n×n的方塊矩陣M,滿足以下等式:
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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![{\displaystyle M^{q}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9210455f77674f528071581b03187487d4d967)
對於某個正整數q。類似地冪零變換是一個線性變換L,滿足
對於某個整數q。
冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以應用於矩陣和線性變換,也可以應用於環的元素。
考慮以下的矩陣:
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這是一個4×4的冪零矩陣的例子(實際上,這種形式的矩陣稱為轉移矩陣)。注意非零的超對角線。這個矩陣的特徵為:
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超對角線不斷向右上角「移動」,直到完全消失,得到零矩陣。
對應的冪零變換L : R4 → R4由下式定義:
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有一個分類定理證明這是典型的:冪零矩陣與分塊矩陣是相似的,其對角線上的區塊推廣了這種類型,而其它區塊為零。
以上的例子是典型的,這是因為以下的結果。每一個冪零矩陣都與以下的分塊矩陣相似:
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其中區塊 在超對角線上為一,在其它地方為零:
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這可以從若爾當標準形,以及每一個與冪零矩陣相似的矩陣也是冪零的事實推出。
- ^ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3