並運算
在數學中,集合上的並(英語:join)可以用兩種方式定義:關於這個集合上的偏序的唯一上確界(最小上界),假定這種上確界存在的話;或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下,這個集合與並運算一起是並半格。兩個定義生成等價的結果,除了偏序方式有可能直接的定義更一般的元素的集合的並之外。最常見到並運算的領域是格。
和 的並通常被指示為 。
偏序定義
編輯設 A 是帶有偏序 的一個集合,並設 和 是 A 中的兩個元素。A 中的一個元素 是 和 的並(或最小上界或上確界),如果滿足下列兩個條件:
- 1. 且 (就是說, 是 和 的一個上界)
- 2. 對於 A 中任何 ,使得 且 ,有着 (就是說, 小於任何其他 和 的上界)。
如果 和 有並,則實際上它是唯一的,因為如果 和 都是 和 的最小上界,則 ,因此確實 。如果並存在,它被指示為 。A 中的某些對元素可能缺乏並,要麼因為它們根本就沒有上界,要麼因為它們的上界沒有一個小於所有其他的。如果所有的元素對都有並,則這個並實際上是在 A 上的二元運算,並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對於 A 中任何元素 , 和 有
泛代數定義
編輯通過定義,在集合 A 上的二元運算 是並,如果它滿足上述三個條件 a, b 和 c。有序對 (A, ) 就是並半格。此外,我們可以定義在 A 上的二元關係 ,通過聲稱 當且僅當 。事實上,這個關係是在 A 上的偏序。實際上,對於 A 中任何元素 , 和 有
- ,因為 ,通過公理 c;
- 如果 且 ,則 ,通過公理 a;
- 如果 且 ,則 ,因為 ,通過公理 b。
兩個定義的等價性
編輯如果 (A, ) 是偏序集合,使得 A 中每對元素都有並,則確實 當且僅當 ,因為在後者情況下 的確是 和 的上界,並且因為明顯的 是最小上界當且僅當它是上界。因此,以泛代數方式的並定義的偏序一致於最初的偏序。
反過來說,如果 (A, ) 是並半格,並用泛代數的方式定義偏序 ,對於 A 中某些元素 和 有 ,則 是 和 關於 的最小上界,因為 ,類似的 ,並且如果 是 和 的另一個上界,則 ,因而 。所以最初的並定義的偏序定義的並一致於最初的並。
換句話說,這兩種方式生成本質上等價的概念,集合配備了二元關係和二元運算二者,使得每個結構都有另一個確定,而且分別滿足關於偏序或並的那些條件。
一般子集的並
編輯如果 (A, ) 是並半格,則並可以被擴展為任何非空有限集合的良好定義的並,通過在迭代二元運算中描述的技術。可作為替代的,並定義或定義自偏序,A 的某個子集的確有關於它的上確界。對於非空有限子集,這兩種方式生成同樣的結果,因此任何一個都可以作為並的定義。在 A 的每個子集都有並的情況下,實際上 (A, ) 是完全格;詳情請參見完全性 (序理論)。