在數學中,集合上的(英語:join)可以用兩種方式定義:關於這個集合上的偏序的唯一上確界(最小上界),假定這種上確界存在的話;或者是滿足冪等律交換結合二元運算。在任何一個情況下,這個集合與併運算一起是併半格。兩個定義生成等價的結果,除了偏序方式有可能直併的定義更一般的元素的集合的併之外。最常見到併運算的領域是

的併通常被指示為

偏序定義

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A 是帶有偏序   的一個集合,並設   A 中的兩個元素。A 中的一個元素     的併(或最小上界或上確界),如果滿足下列兩個條件:

1.    (就是說,    的一個上界)
2. 對於 A 中任何  ,使得   ,有着   (就是說,  小於任何其他    的上界)。

如果    有併,則實際上它是唯一的,因為如果    都是    的最小上界,則  ,因此確實  。如果併存在,它被指示為  A 中的某些對元素可能缺乏併,要麼因為它們根本就沒有上界,要麼因為它們的上界沒有一個小於所有其他的。如果所有的元素對都有併,則這個併實際上是在 A 上的二元運算,並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對於 A 中任何元素  ,   

a.   (交換律),
b.   (結合律),
c.   (冪等律)。

泛代數定義

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通過定義,在集合 A 上的二元運算   是併,如果它滿足上述三個條件 a, bc。有序對 (A, ) 就是併半格。此外,我們可以定義在 A 上的二元關係  ,通過聲稱   若且唯若  。事實上,這個關係是在 A 上的偏序。實際上,對於 A 中任何元素  ,   

 ,因為  ,通過公理 c
如果   ,則  ,通過公理 a
如果   ,則  ,因為  ,通過公理 b

兩個定義的等價性

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如果 (A, ) 是偏序集合,使得 A 中每對元素都有併,則確實   若且唯若  ,因為在後者情況下   的確是    的上界,並且因為明顯的   是最小上界若且唯若它是上界。因此,以泛代數方式的併定義的偏序一致於最初的偏序。

反過來說,如果 (A, ) 是併半格,併用泛代數的方式定義偏序  ,對於 A 中某些元素    ,則     關於   的最小上界,因為  ,類似的  ,並且如果     的另一個上界,則  ,因而  。所以最初的併定義的偏序定義的併一致於最初的併。

換句話說,這兩種方式生成本質上等價的概念,集合配備了二元關係和二元運算二者,使得每個結構都有另一個確定,而且分別滿足關於偏序或併的那些條件。

一般子集的併

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如果 (A, ) 是併半格,則併可以被擴展為任何非空有限集合的良好定義的併,通過在迭代二元運算中描述的技術。可作為替代的,併定義或定義自偏序,A 的某個子集的確有關於它的上確界。對於非空有限子集,這兩種方式生成同樣的結果,因此任何一個都可以作為併的定義。在 A 的每個子集都有併的情況下,實際上 (A, ) 是完全格;詳情請參見完全性 (序理論)

參見

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