廣義黎曼猜想

黎曼猜想數學中最重要的猜想之一,描述了黎曼ζ函數非平凡零點的分布規律。而其中黎曼ζ函數可以用各種整體L函數(global L-function)替代,由此得到黎曼猜想不同類型的推廣。這些推廣的猜想描述的是不同L函數非平凡零點分布的規律。許多數學家相信這些猜想是正確的。不過其中僅有部分函數域情形下的推廣得到了證明。

整體L函數可以與橢圓曲線數域(此時稱為戴德金ζ函數)、馬斯形式(Maass form)或狄利克雷特徵(此時稱為狄利克雷L函數)相聯繫。其中,描述戴德金ζ函數的黎曼猜想被稱為擴展黎曼猜想(extended Riemann hypothesis,ERH),而描述狄利克雷L函數的黎曼猜想則被稱為廣義黎曼猜想(generalized Riemann hypothesis,GRH)。(也有許多數學家用「廣義黎曼猜想」用作對各種整體L函數推廣的總稱,而非單指狄利克雷L函數下的情形。)

廣義黎曼猜想

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狄利克雷L函數下的廣義黎曼猜想最初可能是由皮爾茨(Piltz)於1884年提出的。與原始的黎曼猜想類似,該猜想對研究素數分布十分重要。

如查一個已知的狄利克雷特徵χ,可以定義如下狄利克雷L函數

 

其中,s為實部大於1的所有複數。這一函數可以解析延拓為整個複平面上的亞純函數。廣義黎曼猜想即是指,狄利克雷L函數L(χ,s)的所有非平凡零點的實部都為1/2。

當對所有n都有χ(n) = 1時,廣義黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。

擴展黎曼猜想

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假設K數域有理數域的有限次代數擴張域),OKK整數環a為OK理想Na則為非零理想的絕對範數。於是可以定義K上的戴德金ζ函數

 

其中,s為實部大於1的所有複數。求和運算對OK的所有非零理想a進行。

這一函數也可以解析延宕到整個複平面上。擴展黎曼猜想是指,戴德金ζ函數ζK(s)的所有非平凡零點的實部都為1/2。

當數域K取有理數域Q,其整數環則為Z時,擴展黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。

參考文獻

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