弗萊納公式

在向量微積分中，弗勒內-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用來描述歐幾里得空間R³中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說，弗勒內公式描述了曲線的切向，法向，副法方向之間的關係。這一公式由法國數學家讓·弗雷德里克·弗勒內（於1847年的博士論文中）和約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷（於1851年）分別提出。

空間曲線的切向量 T，法向量 N 和副法向量 B；以及切向量和法向量張成的密切平面。

單位切向量 T，單位法向量 N，單位副法向量 B，被稱作 弗勒內標架，他們的具體定義如下：

T 是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。
N 是切向量 T 對弧長參數的微分單位化得到的向量。
B 是 T 和 N 的外積。

弗勒內公式如下：

{\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}

其中d/ds 是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。

弗勒內公式

平面曲線上的亮點的切向量和法向量，以及標架在運動過程中的旋轉。

記r(t) 為歐式空間R³中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。弗勒內公式只適用於正則曲線，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不為零的曲線。

記 s(t) 為 t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：

s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .

由於假設r′ ≠ 0，因此可以將 t 表示為 s 的函數，因此可將曲線表示為弧長 s 的函數 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 r(s)，弗勒內標架 (或弗勒內基底)定義如下：

單位切向量 T：

\mathbf {T} ={d\mathbf {r}  \over ds}.\qquad \qquad (1)

主法向量 N：

\mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)

副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積：

\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)

螺旋線上弗勒內標架的運動。藍色的箭頭表示切向量，紅色的箭頭表示法向量，黑色的箭頭表示副法向量。

由於 $|\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,$ 所以 N 與 T 垂直。方程 (3) 說明 B 垂直於 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒內公式如下：

{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。

弗勒內公式有時也被稱作弗勒內定理，並且可以寫做矩陣的形式：^[1]

{\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.

其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長s求導，可以看成是對切方向的協變導數。

參閱

注釋

^ Kühnel 2002，§1.9

參考資料

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Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964
Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部連結

[1] Kühnel 2002，§1.9

[1]