拉普拉斯展開

數學中,拉普拉斯展開(英語:Laplace expansion,或稱拉普拉斯公式)是一個關於行列式的展開式。將一個n×n矩陣B的行列式進行拉普拉斯展開,即是將其表示成關於矩陣B的某一行(或某一列)的n個元素的(n-1)×(n-1)餘子式。行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行(或按某一列的展開。由於矩陣B有n行n列,它的拉普拉斯展開一共有2n種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理,是將一行的元素推廣為關於k行的一切子式。它們的每一項和對應的代數餘子式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開可以減少對於矩陣B之行列式的計算,拉普拉斯公式也常用於一些抽象的推導中。

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

公式

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B = (bij)是一個n × n矩陣。B關於第i行第j列的餘子式Mij是指B中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的(ij餘子式B的(ij代數餘子式Cij是指B的(ij)餘子式Mij與(−1)i + j的乘積:Cij = (−1)i + j Mij

拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出,為如下公式:對於任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}:

 

例子

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考慮以下的矩陣:

 

這個矩陣的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展開式來計算:

 
 

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展開式來計算:

 
 

很容易看到這個結果是正確的:這個矩陣是奇異的,因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例,因此它的行列式是零。

證明

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B是一個n × n的矩陣, 。為了明確起見,將 的係數記為 ,其中1 ≤ s,t ≤ n − 1.

考慮B的行列式|B|中的每個含有 的項,它的形式為:

 

其中的置換τ ∈ Sn使得τ(i) = j,而σ ∈ Sn-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然,每個τ都對應着唯一的σ,每一個σ也對應着唯一的τ。因此我們創建了Sn − 1與{τ ∈ Sn : τ(i) = j}之間的一個雙射。置換τ可以經過如下方式從σ得到:

定義σ' ∈ Sn使得對於1 ≤ kn − 1,σ'(k) = σ(k)並且σ'(n) = n,於是sgn σ' = sgn σ。然後

 

由於兩個輪換分別可以被寫成n − in − j對換,因此

 

因此映射σ ↔ τ是雙射。由此,

   
 
 

從而拉普拉斯展開成立。

拉普拉斯定理

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拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式,現在稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和餘子式的基礎上,說明了如果將B關於某k行的每一個子式和對應的代數餘子式的乘積加起來,那麼得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行(一列)展開的情況一樣,都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。

參考來源

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