拉馬努金Θ函數

数学术语

拉馬努金theta函數是一個由英國數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金定義的雙變量復變theta函數,推廣了雅可比theta函數,被廣泛地運用在q-函數和級數的理論中。

定義

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拉馬努金theta函數被定義為

 而其中 

對於所有的 ,拉馬努金theta函數取到簡單零點。 拉馬努金theta函數也可以用q-珀赫哈默爾符號定義,如

 

這說明與其他theta函數類似,拉馬努金theta函數也與q-模擬存在緊密聯繫。它有一個積分表示,  

與其他函數的聯繫

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單變量的拉馬努金theta函數被定義成

 

此外,拉馬努金phi函數拉馬努金psi函數拉馬努金chi函數也是拉馬努金theta函數的特殊單變量情形。它們之間的關係可以被解釋為:

 

而它就是第三雅可比theta函數的特例 ,它的級數表達是OEIS中的數列A000122頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)。

 

它的級數表達是OEIS中的數列A010054頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)。

 

它的級數表達是OEIS中的數列A000700頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)。

應用

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拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論超弦理論M理論中的臨界維數英語Critical dimension

參考資料

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