拓撲學家正弦曲線
具有特別性質的拓樸空間
拓撲學中,拓撲學家正弦曲線或華沙正弦曲線是一個拓撲空間,具有一些有趣的特性,使其成為教科書中的一個重要例子。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Topologist%27s_sine_curve.svg/420px-Topologist%27s_sine_curve.svg.png)
它可以定義為函數sin(1/x)在半開區間(0, 1]上連通原點在歐氏平面拓撲下的函數圖形:
性質
編輯拓撲學家正弦曲線T是連通的,但不是局部連通也不是路徑連通。這是因為它包含原點,但卻無法將函數與原點連接為路徑。
空間T是局部緊空間的連續像(即設V為空間{−1} ∪ (0, 1],並使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))(x > 0)定義的映射 ),而T本身不是局部緊的。
T的拓撲維數為1。
變體
編輯拓撲學家正弦曲線有2種有趣的變體,具有其它有趣的性質。
閉拓撲學家正弦曲線可通過拓撲學家正弦曲線添加極限點集 得到。有文獻將拓撲學家正弦曲線本身定義為這個版本,因為他們更喜歡用「閉拓撲學家正弦曲線」指另一條曲線。[1]據海涅-博雷爾定理,這是閉有界緊空間,但與拓撲學家正弦曲線有相似的性質:它也是連通的,但既不是局部連通,也不是路徑連通。
另見
編輯參考文獻
編輯- ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
- 埃里克·韋斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.