有限環

在數學，特別是抽象代數，有限環（Finite ring）是一個環（不一定有乘法的單位元）元素的數量有限的環。每一個有限域是有限環的一個特例，每一個有限環的加法群，是一個有限阿貝爾群，有限環的概念是比較新的。

1964年在《美國數學月刊》上，大衛·辛馬斯特（David Singmaster）提出了以下問題：「（1）不是域的非平凡有單位元環有何種結構，已經找出兩個這種四階環，還有不同的四階環嗎？（2）四階環有多少？」

一個解決方案由D.M. 布魯姆（D.M. Bloom）在《美國數學月刊》（71:919-20）證明，得出結論：有11個四階環，其中四個有乘法單位元。事實上，四階環種類多少介紹了問題的複雜性，在四階群的一類四階循環群C4上有三種四階環，在在四階群的另一類克萊因四元群上有八種四階環。

在同一雜誌《美國數學月刊》（75:512-14）的由K.艾爾德瑞志（K. Eldrige）在1968年對有限環的非交換性得出兩個定理：如果有單位元1的有限環的階有一個3次分解，它是可交換的。非交換有單位元1的有限環，如果是一個素數P的3次方，那麼這環同構於這素數的伽羅瓦域的上三角2×2矩陣環。

由R.雷格哈文德拉（R. Raghavendra）在1969年對素數P的3次階方的環的研究得到了進一步發展。在1973年羅伯特·吉爾默和喬·莫特也發表了論文《素數p的3次階方的結合環》。弗洛爾和威森鮑爾對素數P的3次階方的環又有推進（1975），明確的結論是通過同構類來進行的。由V.G.安提普金和V.P.艾利查洛夫（1982）寫在《西伯利亞數學雜誌》（23:457-64）。他們證明：p > 2，數目是p3+50。 綜上環結構的研究已有成果如下： 凡素階環都2個 凡兩素素乘階環都4個 凡素階環平方都11個 凡素階環平方與一素數乘階都22個 8階環52個 大於是的素數3次方階環個數為3p + 50

韋德伯恩定理

• 韋德伯恩小定理
• 阿廷-韋德伯恩定理
• 約瑟夫·韋德伯恩除給出同階有限環數目，更進著名的定理---韋德伯恩小定理，聲稱任何有限除環必然交換（因此是有限域）。
• 納森·雅各布森後來發現保證環交換的又一條件：

對於環R的任一元素r,如果存在大於1的正整數n,使得下式成立，則必為交換環： n > 1 如果 rⁿ = r, 則必為交換環。

• n=2，則為布爾環。
• 環為交換環更一搬的條件也於2007年得出。
• 對於有限素環（即單環），從韋德伯恩的1905年和1907年（其中之一是韋德伯恩小定理）定理，結果表明，有限素環論性質相對簡單。更具體地說，任何有限單環是同構的q階有限域的n×n矩陣環。

另一方面，有限單群分類定理是二十世紀數學的一個重大突破，其證明跨越成千上萬的雜誌頁面，這重大突破使有限環的分類難度大為降低。

• n個元素的環不同種類個數有數列:1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2....

參考文獻

• Gregory Dresden (2005) Small Rings, a research report of the work of 13 students and Prof. Sieler at a Washington & Lee University class in Abstract algebra (Math 322).
• Gregory Dresden (2005) Rings with four elements.
• Bernard A. McDonald (1974) Finite Rings with Identity, Marcel Dekker ISBN 0824761618.
• G Bini & F Flamini (2002) Finite commutative rings and their applications, ISBN 9781402070396
• 整數數列線上大全：OEIS A027623
• 有限單群分類定理