極限集合

在數學領域，特別是對於動力系統的研究中，極限集合（或稱極限集、極限點集）是一個動力系統在時間趨於無窮的時候的極限點的集合。極限集合有兩種，分別是時間正向流動至正無窮時的極限點集合和時間反向流動回溯至負無窮時的極限點集合。在動力系統研究中，極限集合可以用來理解動力系統的長期性態。動力系統中的極限集合的種類包括有奇點，周期軌線，極限環和吸引子。

一般情況下的極限集合可能隨着奇異吸引子的出現而變得非常複雜，但是在二維的動力系統中，龐加萊-本迪克松定理提供了一個極限集合的簡潔的刻畫：這時的動力系統的極限集合只可能是不動點或周期軌線。

對於迭代函數的定義

設 $X$ 為一個度量空間，並令 $f:X\rightarrow X$ 為一個連續函數。集合 $X$ 中元素 $x\in X$ 關於 $f$ 的$\omega$-極限集合是其經過函數 $f$ 迭代後得到的序列 $\{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }$ 的所有極限點的集合，記作 $\omega (x,f)$。依此定義，某元素$y\in \omega (x,f)$當且僅當存在嚴格遞增的自然數列 $\{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ 使得 當 $k\rightarrow \infty$ 的時候 $f^{n_{k}}(x)\rightarrow y$。用純數學語言也可以表示為：

$\omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}}$。

極限集合內的點稱為回歸點.

如果 $f$ 是一個同胚映射（即一個本身和其反函數都連續的函數），那麼還可以定義 集合 $X$ 中元素 $x\in X$ 關於 $f$ 的$\alpha$-極限集合：$\alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})$，這是將 $x$ 關於 $f$ 做反向迭代後得到的序列的極限點集合。

以上定義的兩個集合都對函數 $f$ 保持不變，並且如果集合 $X$ 是緊集的話，那麼它們也是非空的緊集。

對動力系統的定義

給定一個實數值動力系統 $(T,X,\varphi )$，其中$T$為時間，

$x(t)=X(t,x(t))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

為描述方程，$\varphi :(t_{0},t,x_{0})\rightarrow \phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ 是以點$x_{0}$初始值的解（由$(1)$ 和 $x_{0}$所確定的流）。

一個點 y 被稱為 $x_{0}$ （關於動力系統）的ω-極限點，如果存在實數序列 $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 使得：

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty$，並且

$\lim _{n\to \infty }\varphi (t_{0},t_{n},x)=y$。

$x_{0}$ （關於動力系統）的ω-極限集合是所有$x_{0}$ 的ω-極限點的集合，記為$L_{\omega }(x_{0})$。

類似地，稱 y 為 $x_{0}$ （關於動力系統）的α-極限點，存在實數序列 $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 使得：

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty$，且

$\lim _{n\to \infty }\varphi (t_{0},t_{n},x)=y$。

$x_{0}$ （關於動力系統）的α-極限集合是所有$x_{0}$ 的α-極限點的集合，記為$L_{\alpha }(x_{0})$。

對於一個非空集合 $Z$，類似地定義 $Z$ 的ω-極限集合是 $Z$ 里的所有元素的極限集合之併集，記為$L_{\omega }(Z)$。

$L_{\omega }(Z)=\bigcup _{z\in Z}L_{\omega }(z)$。

同樣可以定義 $Z$ 的α-極限集合：

$L_{\alpha }(Z)=\bigcup _{z\in Z}L_{\alpha }(z)$。

如果某點的ω-極限集合跟以此點為初始值的正半軌線（流）的交集為空集，則稱相應的極限集合為一個ω-極限環 。同樣地，如果某點α-極限集合跟以此點為初始值的負半軌線（流）的交集為空集，則稱相應的極限集合為一個α-極限環。

參見

• Julia集
• 穩定集
• 極限環
• 周期點
• 非遊蕩集

參考來源

• Claude Viterbo, Équations différentielles et systèmes dynamiques, Les Éditions de l'École Polytechnique,2008.
• Robert Devaney, Morris W. Hirsch, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Second Edition，2007
• Emmanuel Hainry，Computing omega-limit Sets in Linear Dynamical Systems.
• Fabio Celani, Omega-limit Sets of Nonlinear Systems that are Semiglobally Practically Stabilized, Washington University, St. Louis, USA