在物理學與數學中,格林定理給出了沿封閉曲線 C線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的聯繫。格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。[1]

定理

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設閉區域 由分段光滑的簡單曲線  圍成,函數   上有一階連續偏導數,則有[2][3]

 

其中  的取正向的邊界曲線。

此公式叫做格林公式,它給出了沿着閉曲線 曲線積分 所包圍的區域 上的二重積分之間的關係。另見格林恆等式。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

D 為一個簡單區域時的證明

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以下是特殊情況下定理的一個證明,其中D是一種I型的區域,C2C4是豎直的直線。對於II型的區域D,其中C1C3是水平的直線。

如果我們可以證明

 

以及

 

那麼就證明了格林公式是正確的。

把右圖中I型的區域D定義為:

 

其中g1g2是區間[a, b]內的連續函數。計算(1)式中的二重積分:

   
 

現在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C1C2C3C4的併集。

對於C1,使用參數方程:。那麼:

 

對於C3,使用參數方程 。那麼:

 

沿着C3的積分是負數,因為它是沿着反方向從ba。在C2C4上,x是常數,因此:

 

所以:

   
 

(3)和(4)相加,便得到(1)。類似地,也可以得到(2)。

應用

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計算區域面積

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使用格林公式,可以用線積分計算區域的面積[4]。因為區域D的面積等於 ,所以只要我們選取適當的LM使得 ,就可以通過 來計算面積。

一種可能的取值是 [4]

參見

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參考文獻

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  1. ^ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) of his Essay.
    In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.)
    A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.
  2. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  4. ^ 4.0 4.1 Stewart, James. Calculus 6th. Thomson, Brooks/Cole. 2007.