梅欽類公式(英語:Machin-like formula)是數學中計算圓周率的一個常用技巧,它是梅欽公式的推廣,梅欽公式的形式為

梅欽依據此公式,把圓周率計算到一百多位小數。


梅欽類公式的形式為:

1

其中, 為正 整數,且 為非零整數,且 為正整數。

梅欽類公式的應用可結合反正切函數泰勒級數展開:

4

導出

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根據角的和差公式

 
 

 

  2

反覆應用這一方程,可得到所有的梅欽類公式,比如最初的梅欽公式:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

用梅欽公式編程計算圓周率(C++)

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(void)
{   //本程序每四位数输出,如果请求计算的位数不是4的整数倍,最后输出可能会少1~3位数
	long a[2]={956,80},b[2]={57121,25},i=0,j,k,p,q,r,s=2,t,u,v,N,M=10000;
	printf("%9cMachin%6cpi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)\nPlease input a number.\n",32,32);
	cin>>N,N=N/4+3;
	long *pi=new long[N],*e=new long[N];
	while(i<N)pi[i++]=0;
	while(--s+1)
	{
		for(*e=a[k=s],i=N;--i;)e[i]=0;
		for(q=1;j=i-1,i<N;e[i]?0:++i,q+=2,k=!k)
			for(r=v=0;++j<N;pi[j]+=k?u:-u)u=(t=v*M+(e[j]=(p=r*M+e[j])/b[s]))/q,r=p%b[s],v=t%q;
	}
	while(--i)(pi[i]=(t=pi[i]+s)%M)<0?pi[i]+=M,s=t/M-1:s=t/M;
	for(cout<<"3.";++i<N-2;)printf("%04ld",pi[i]);
	delete []pi,delete []e,cin.ignore(),cin.ignore();
	return 0;
}

參考文獻

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