概形(英語:scheme)是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的論文《代數幾何基礎》中提出的,其中一個目的是為了解決代數幾何中的一些問題,例如威爾猜想英語Weil conjectures[1] 。建立在交換代數的基礎之上,概形理論允許使用拓撲學同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一,這也使得懷爾斯得以證明費馬最後定理

定義

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給定一個局部賦環空間 ,如果對 的一個開集  仿射概形,稱 仿射開集

一個局部賦環空間 稱爲概形,如果 的每一點 都有仿射開鄰域,即包含 的仿射開集。

直觀上說,概形是由仿射概形粘起來得到的,正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

概形範疇

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全體概形構成範疇,其態射取為局部賦環空間之間的態射(另見概形的態射英語morphism of schemes)。給定概形 ,所謂 之上的概形 (又稱 -概形)即是概形間的態射 。交換環 上的概形 即是態射 

 上的代數簇可定義為 上的滿足特定條件的概形,但對於具體何種概形可稱為簇,有不同約定,其中一種定義為 之上有限型英語Morphism of finite type分離概形。[2]

態射 確定了正則函數環上的拉回同態 。對於仿射概形,此構造給出概形態射 與環同態 之間的一一對應。[3]此意義下,概形論包含了交換環論的全部內容。

由於 交換環範疇英語category of commutative rings始對象,概形範疇對應以 終對象。對於交換環 上的概形 ,所謂  值點即是態射 截面英語section (category theory),全體 值點的集合記作 ,其對應的古典概念是定義 的方程組在 中的解集。若 實為域 ,則 亦稱為  -有理點英語rational point集。

推而廣之,設有交換環 ,其上有概形 和交換代數 ,則  值點定義為 之上的態射 (該態射需要與射向 的態射組成交換圖表), 值點的集合記作 。(類比到方程組的情況,相當於將某個域 擴張 ,再考慮 中的解集。)固定 及其上的概形 時,映射 為自交換 代數範疇至集合範疇的函子 上的概形 可從此點函子英語functor of points確定。[4]

概形的纖維積英語fiber product of schemes總存在:對任意兩態射 ,皆可在概形範疇內找到纖維積 (即範疇學拉回)。若 為域 上的概形,則兩者在 上的纖維積可以視為 -概形範疇中的積,例如仿射空間   上之積正是 

由於概形範疇既有纖維積,又有終對象 ,其有齊全部有限極限

歷史

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概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為「預概形」(法語:préschéma,英語:prescheme),1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文「概型」。

  • 仿射概形的開子集不一定仿射,因此需要考慮(非仿射的)一般概形。例如,設 (基域取複域 為例),則當 時, 不為仿射。(但對於 的情況,仿射直線挖去原點,同構於仿射概形 。)欲證 非仿射,可以證出當 時, 上的每個正則映射,皆可延拓至 上。(對正則映射較易證明;對解析函數,則是複分析的哈托格斯延拓定理英語Hartogs's extension theorem)。換言之,嵌入 導出自  的環同構。假若 仿射,將由此得出 本身亦為同構,但 不為滿射,矛盾。因此,概形 不為仿射。[5]
  •  為域,則可數積 的譜 為仿射概形,底下的拓撲空間為正整數集(離散)的斯通-切赫緊化,因為質理想與正整數集上的超濾子一一對應:超濾子 對應質理想

     

    特別地,正整數 對應的主超濾子,對應的質理想是 [6]本例仿射概形為零維空間,故而每點自成一個既約分支英語irreducible component。由於仿射概形皆擬緊,本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。(諾特概形英語Noetherian scheme則與之相對,衹有有限多個既約分支。)

參考文獻

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  1. ^ Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".
  2. ^ Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], (原始內容存檔於2022-11-01) .
  3. ^ Hartshorne 1997,Proposition II.2.3.
  4. ^ Eisenbud & Harris 1998,Proposition VI-2.
  5. ^ Hartshorne 1997,Exercises I.3.6 and III.4.3.
  6. ^ Arapura 2011,section 1.

參見

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