模態邏輯

模態邏輯，或者叫內涵邏輯（不很常見），是處理用模態如「可能」「或許」「可以」「一定」「必然」等限定的句子的邏輯。模態邏輯可以用語義的「內涵性」來描述其特徵：複雜公式的真值不能由子公式的真值來決定的。允許這種決定性的邏輯是「外延性的」，經典邏輯就是外延性的例子。模態算子不能使用外延語義來形式化：「喬治·布什是美國總統」和「$2+2=4$」是真的，但是「喬治·布什必然是美國總統」是假的，而「$2+2=4$是必然的」是真的。

形式模態邏輯使用模態判決算子表示模態。基本的模態算子是$\Box$和$\Diamond$。（有時分別使用「$L$」和「$M$」）。它們的意義依賴於特定的模態邏輯，但它們總是以相互定義的方式來定義：

$\Diamond p=\lnot \,\Box \,\lnot \,p.$

$\Box p=\lnot \,\Diamond \,\lnot \,p.$

真勢模態

在真勢模態邏輯（就是說必然性和可能性的邏輯）中$\Box$表示必然性，而$\Diamond$表示可能性。所以Jones有兄弟是「可能的」，當且僅當Jones「沒」有兄弟是「非必然的」。

句子被認定為：

• 可能的，如果它「可能」為真（不管實際上是真是假）；
• 必然的，如果它「不可能」為假;
• 偶然的，如果它「不是」必然為真，就是說，可能為真可能為假。偶然的真理是「實際上」為真，但「可能曾經不是」的真理。

其他模態

認識

模態邏輯最經常用來談論所謂的「真勢模態」：「⋯⋯是必然的」或者「⋯⋯是可能的」，這些模態（包括形而上學模態和邏輯模態）最容易混淆於認識模態（來自希臘語episteme，知識）：「⋯⋯確實是真的」和「⋯⋯（對給定的可獲得的信息）或許是真的」。在普通的話語中這兩種模態經常用類似的詞來表達；下列對比可能有所幫助：

一個人Jones可以合理地「同時」說出：（1）「我確信大腳怪不可能存在」，還有（2）「大腳怪存在的確是可能的」。Jones通過（1）表達的意思是，對於給定的所有可獲得的信息，大腳怪存在與否是沒有疑問的。這是一個認識上的斷言。通過（2）表達的意思是這個事物可能曾是其它樣子的。他的意思不是「就我所知而言，大腳怪可能存在」。（所以這不矛盾於（1）。）而是，他做了一個「形而上學」上的斷定：「即使我不知道，大腳怪存在仍是可能的。」

在其他方面，Jones可以說（3）「哥德巴赫猜想可能為真，也可能為假」，還有（4）「如果它是真的，則它必然是真的，不可能是假的」。這裡Jones的意思是，「就他所知而言，它為真為假都是在認識上可能的（哥德巴赫猜想仍未被證明是真還是假）。但是如果有這麼一個證明（至今仍未發現），則哥德巴赫猜想為假在邏輯上是不可能的」。邏輯上的可能性是一種「真勢」（alethic）可能性；（4）做了對一個數學真理曾經為假是否可能的一個斷言，而（3）只做了對「就Jones所知而言」這個論斷被證實為假是否可能的一個斷言，所以Jones還是不自相矛盾。

認識上的可能性還以一種非形而上學的方式關注真實世界。形而上學的可能性以「可能曾是」的方式關注世界，而認識上的可能性以（就我所知而言）「可能正是」的方式關注世界。比如，我想知道在離開前是否要帶把傘。如果你告訴我「外面可能在下雨」——在一種「認識上可能」的意義上——那麼這會影響我是否帶傘的決定。但是如果你告訴我「外面下雨是可能的」——在一種「形而上學上可能」的意義上——那麼我從這種大道理中沒有得到任何啟示。

大量的哲學文獻關心「真勢」而非「認識」模態。（實際上，其中大多數關心一種最廣泛的真勢模態，就是邏輯可能性。）這不是說真勢可能性比我們日常用的認識可能性更重要（考慮上面決定是否帶傘的例子）。只是說在哲學研究中的優先權不是日常生活中的重要性帶來的。

道義和時間

言語中有一些類似的模式，儘管不大可能與真勢模態混淆，但仍密切地相關。其一，是有關時間的談論。明天可能會下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果實際上已經下了，則說「昨天可能沒有下雨」就不是完全正確的。過去好像「固定的」或必然的，而將來在某種程度上不是。很多哲學家和邏輯學家認為這種推理不是很好；但是我們經常以這種方式談話，所以最好有一種邏輯能捕獲它的結構。類似的有關道德的談論，或者說義務和規範一般好像也有模態結構。在「你必須這麼做」和「你可以這麼做」之間的區別看起來很像在「這是必然的」和「這是可能的」之間的區別。這種邏輯叫做道義邏輯，「道義」來自希臘語duty。

模態邏輯的釋義

在模態邏輯的最常見解釋中，你要考慮「所有邏輯上可能的世界」。如果一個陳述在所有可能世界中是真的，則它是必然的真理。如果一個陳述碰巧在我們的世界中是真的，但不是在所有可能世界中是真的，則它是偶然的真理。在某些（不是必須在我們自己的）可能世界中是真的陳述叫做可能的真理。

這種"可能世界"是否是解釋模態邏輯的最佳方式，怎樣在文字上接受這種方言，是形而上學的鮮活的問題。例如，可能世界的方言可以把關於大腳怪的斷言翻譯為「有某個可能世界，在其中大腳怪存在」。要主張大腳怪的存在性是可能的，但不是現實的，你可以說「有某個可能世界，在其中大腳怪存在；但是在現實世界中，大腳怪不存在」。但是對使模態斷言對我們負責的那個東西是什麼仍是不清楚的。我們真的要宣稱可能世界的存在性嗎？它在每一點都同我們的現實世界一樣真實，卻惟獨不是現實的。David Lewis強硬的說就是這樣，可能世界同我們自己的世界一樣真實。這種立場叫做「模態現實主義」。不足為奇的，多數哲學家不願意接受這種特別的學說，在搜尋一種可替代的方式來釋義我們的模態斷言所蘊含的本體論承諾。

公理系統

有很多有不同性質的模態邏輯。在其中很多必然性和可能性的概念滿足下列德·摩根定律的聯繫：

「$X$是非必然的」等價於「非$X$是可能的」。

「$X$是非可能的」等價於「非$X$是必然的」。

儘管模態邏輯教科書比如Hughes和Cresswell的《A New Introduction to Modal Logic》覆蓋了這個定律不成立的一些系統。

模態邏輯向命題邏輯的「合式公式」增加上必然性和偶然性。在一些記號中「必然的$p$」使用「方塊」（$\Box p$）表示，而「可能的$p$」使用「菱形」（$\Diamond p$）表示。無論是什麼樣的記號，兩個算子是以相互定義的方式定義的：

• $\Box p$（必然的$p$）等價於$\neg \Diamond \neg p$（非可能的非$p$）
• $\Diamond p$（可能的$p$）等價於$\neg \Box \neg p$（非必然的非$p$）

因此，$\Box$和$\Diamond$叫做對偶算子。

要建立模態邏輯的可用系統，必須向命題邏輯的增加什麼公理是非常有爭議的主題。得名於Saul Kripke的K，只向經典命題邏輯公理體系增加了如下規則：

• 必然性規則：如果$p$是 K的定理，則$\Box p$也是。
• 分配律公理：如果$\Box (p\rightarrow q)$則$(\Box p\rightarrow \Box q)$（這也叫做公理K）

但K是一個弱模態邏輯。特別是留下了一個公開的問題，命題是必然的但只偶爾是必然的。如果$\Box p$為真則$\Box \Box p$為真不是K的定理，它是說，必然的真理必然是必然的。這可能不是K的大缺陷，因為這些好像是十分奇怪的問題，而試圖解答它們的任何嘗試都把我們捲入混亂的難題中。無論如何，對這種問題的不同解決方式生成了不同的模態邏輯系統。

這些規則缺乏從$p$的必然性到$p$的實際情況的公理，所以通常要補充上下列「自反性」公理，這就生成經常叫做T的一個系統。

• $\Box p\rightarrow p$（如果$p$是必然的，則$p$是事實）

這是多數但不是全部模態邏輯系統的規則。Jay Zeman的書《Modal Logic》覆蓋了沒有這個規則的系統如S1^0。

其他周知的基本公理：

• 4: $\Box p\rightarrow \Box \Box p$
• B: $p\rightarrow \Box \Diamond p$
• D: $\Box p\rightarrow \Diamond p$
• 5: $\Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$

這些公理產生的系統：

• K := K + N
• T := K + T
• S4 := T + 4
• S5 := S4 + 5
• D := K + D.

K到S5形成了嵌套的系統層級，建造了正規模態邏輯的核心。D主要對探索模態邏輯的道義解釋的人有價值。

今天最常見的系統是模態邏輯S5，它通過增加使所有模態真理是必然的公理來粗壯的解答了這個問題：例如，如果$p$是可能的，則$p$必然是可能的，如果p是必然的，則它必然是必然的。很多人認為它正當的根據是，它是在我們需要每個可能的世界相對於每個其他世界都是可能的時候所獲得的系統。不過，模態邏輯的其他系統已經被公式化了，部分的因為S5不能很好的適合我們感興趣的所有種類的形而上學模態。（若此則意味着可能的世界的談論不能很好的適合這些種類的模態）。

模態邏輯的發展

儘管亞里士多德的邏輯幾乎全部都關注直言三段論的理論，他的著作還包含在模態邏輯要點上的一些延伸討論（比如他著名的在解釋篇§ 9中海戰悖論），並且它們與潛在性和時間有關連。遵從他的著作，經院學者為模態邏輯的嚴格理論開發出了根基，大多在關於本質性和偶然性的陳述的邏輯的注釋的上下文中。在中世紀的作家中，在William of Ockham和John Duns Scotus的著作中找到了關於模態邏輯的一些最重要的工作。

形式模態邏輯的締造者是C. I. Lewis，他在專著《A Survey of Symbolic Logic》（1918）中介入了一個系統（後來叫做S3），並（同C. H. Langford一起）在書《Symbolic Logic》（1932）中介入了系統S1-S5。J. C. C. McKinsey在1941年使用代數方法（帶有算子的布爾代數）來證明Lewis的S2和S4的可判定性。索爾·克里普克從1959年開始為模態邏輯設計了關係語義或可能世界語義。沃恩·普拉特在1976年介入了動態邏輯。Amir Pnueli在1977年提出使用時態邏輯來公式化頻繁操作並發程序的行為。

時間邏輯，在1957年由A. N. Prior發明，與模態邏輯有密切的關聯，因為增加了模態算子[F]和[P]，分別意味着今後和至今，導致了時間邏輯的一個系統。時間邏輯的風味包括：命題動態邏輯（PDL），命題線性時間邏輯（PLTL），線性時序邏輯（LTL），計算樹邏輯（CTL），Hennessy-Milner邏輯和T。

模態邏輯的數學結構，也就是擴充一元運算的布爾代數（經常叫做「模態代數」），開始出現於J. C. C. McKinsey在1941年對S2和S4是可判定性的證明，並於阿爾弗雷德·塔斯基和他的學生Bjarni Jonsson的工作（Jonsson與Tarski 1951-52）中得到完全能力。這項工作顯示了S4和S5是內部代數的模型，它是最初設計用來捕獲拓撲學的內部算子和閉包算子的性質的布爾代數的真擴展。關於模態邏輯的課本典型不太多提及它與布爾代數和拓撲學研究的聯繫。形式模態邏輯與有關數學的歷史概述可參見Goldblatt (2006) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

引用

• M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.
• James Garson (2003) Modal logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Rod Girle (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
• Robert Goldblatt (1992) "Logics of Time and Computation", CSLI Lecture Notes No. 7, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).
• Robert Goldblatt (1993) "Mathematics of Modality", CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of Chicago Press).
• G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.
• G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.
• G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.
• E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.
• J. Jay Zeeman (1973) Modal Logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. D. Reidel Publishing Company.

參見

• 可能世界
• De dicto and de re
• 混合邏輯
• 內部代數
• 可解釋性邏輯
• 可證明性邏輯
• Kripke語義
• 可及關係
• 認識邏輯
• 時間邏輯
• 道義邏輯
• 信念邏輯
• 哥德爾本體論證明

外部連結

• A discussion of modal logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by John McCarthy
• Bibliography of Non-Standard Logics by Peter Suber
• List of Logic Systems List of most of the more popular modal logics.
• Advances in Modal Logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（bi-annual international conference and book series in Modal Logic）

致謝

本文包含最初來自Free On-line Dictionary of Computing的一些材料，經過授權在GFDL下。