正則空間

在拓撲學和其數學上相關分支領域中，正則空間和 T₃ 空間是特定種類的拓撲空間。這兩個條件都是分離公理的個例。

定義

表示為左側的一個圓點的點 x，和表示為右側的一個封閉圓圈的閉集 F，被表示為更大的開放圓圈的它們的鄰域 U 和 V 分離。點 x 在開放圓圈 U 中有很多空間用來抖動，而閉集 F 在開放圓圈 V 中有很多空間用來抖動，但 U 和 V 仍不能相互觸及。

假定 X 是拓撲空間。

X 是正則空間，當且僅當給定任何閉集 F 和不屬於 F 的任何點 x，存在 x 的鄰域 U 和 F 的鄰域 V 它們是不相交的。用「空想家」的術語來說，這個條件聲稱 x 和 F 可以由鄰域分離。

X 是 T₃ 空間，當且僅當它是正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語「正則」和「T₃」使用了不同的定義。我們這裡給出的定義只是今天最常用的；但是某些作者切換了這兩個術語的意義，或把它們用做唯一一個條件的兩個同義詞。在維基百科中，我們直率的使用術語「正則」，而通常稱呼正則豪斯多夫空間來替代不太明晰的「T₃」。在其他文獻中，你要注意作者使用了哪種定義。(短語「正則豪斯多夫」是無歧義的)。更多詳情請參見分離公理的歷史。

與其他分離公理的聯繫

正則空間必然也是預正則的。因為豪斯多夫空間同於預正則 T₀ 空間，也是 T₀ 的正則空間必定是豪斯多夫的(並因此是 T₃)。事實上，正則豪斯多夫空間滿足稍微強些的條件 T_2½。(但是，這種空間不必須是完全豪斯多夫的。)因此，T₃ 的定義可以引用 T₀、T₁ 或 T_2½ 來替代 T₂ (豪斯多夫性)；在正則空間的上下文它們都是等價的。

更理論性的說，正則性條件和 T₃ 性條件是靠柯爾莫果洛夫商關聯起來的。一個空間是正則的，當且僅當它的柯爾莫果洛夫商是 T₃ 的；並且如上所述，一個空間是 T₃ 的，當且僅當它是正則的和 T₀ 的二者。因此在實踐中可遇到的正則空間通常被假定是 T₃ 的，通過把它替代為它的柯爾莫果洛夫商。

有很多拓撲空間的結果都正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候，這些結果也對預正則空間成立；它們對正則空間和豪斯多夫空間分別列出，因為預正則空間的想法提出的更晚。在另一方面，對正則性為真的那些結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況下其他拓撲空間條件(比如正規性、仿緊緻性或局部緊緻性)也蘊涵正則性，如果滿足了更弱的分離公理比如預正則性。這種條件經常有兩個版本: 正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則的，局部緊緻的豪斯多夫空間是正則的，因為任何豪斯多夫空間都是預正則的。因此從特定角度看，正則性實際上不是要點，我們可以施加更弱的條件來獲得同樣的結果。但是，定義通常仍用正則性來措辭，因為這個條件比任何更弱條件都要周知。

在數學分析中研究的多數拓撲空間是正則的；事實上它們通常是完全正則空間，這是更強些的條件。正則空間還對比於正規空間。

例子和反例

如上所述，任何完全正則空間都是正則的，任何不是豪斯多夫(因此不是預正則)的 T₀ 空間不能是正則的。在數學中多數正則和非正則空間例子可以在這兩個文章中找到。在另一方面，空間可以是正則而非完全正則的，或預正則而非正則的，它們通常作為反例來提供猜想，展示可能的定理的邊界。當然，可以輕易的找到非 T₀ 因而非豪斯多夫的空間例子，比如不可分空間，但是，這種離子提供的是對T₀ 公理的洞察而非正則性。不是完全正則的正則空間的例子是吉洪諾夫螺旋。

因此，一般不研究正則空間，因為在數學中研究的有價值空間是正則的就滿足某個更強的條件。實際上，研究它們來找到如下面的性質和定理，典型的在分析中實際應用於完全正則空間。

存在非正則的豪斯多夫空間。例子是集合 R 帶有從形如 U - C 的集合生成的拓撲，這裡的 U 是平常意義上的開集，而 C 是 U 的任何可數子集。

基本性質

假定 X 是正則空間。則給定任何點 x 和 x 的鄰域 G，有一個是 G 的子集的 x 的閉鄰域 E。用空想家的術語來說，x 的閉鄰域形成了在 x 上的局部基。事實上這個性質刻畫了正則空間；如果在拓撲空間中每個點的閉鄰域形成在這個點上的局部基，則這個空間必定是正則的。

選取這些閉鄰域的內部，我們看到正則開集形成了給正則空間 X 的開集的基。這個性質實際上比正則性要弱；正則開集形成基的拓撲空間是半正則空間。

擴張自連續性

假定 A 是拓撲空間 X 中集合而 f 是從 A 到某個空間 Y 的連續函數。那麼只要在 A 中的網或濾子收斂於在 X 中的點(就是 x = lim_n a_n)，則 f(a_n) 收斂到 Y中點 y。通過設置 f(x) = y，我們可以接着擴張 f 的定義域為 A 的閉包，而我們也希望這個擴張是連續的。

如果 Y 是正則空間，則這總是可能的。如果 Y 是正則豪斯多夫空間，則這種連續擴張不只存在而且是唯一性的。注意，如果 A 是稠密集，則 f 將被擴張到全部 X。這叫做「擴張自連續性」，因為 f 的擴張是通過要求它是連續的而定義的(在豪斯多夫情況下還是唯一性的)。

參見不連續性的分類。