流 (數學)
数学形式化,流体粒子的运动
在數學中, 一個流用數學方式形式化了「取決於時間的變化」的一般想法,這經常出現在工程學, 物理學和常微分方程的研究中。非正式地說,如果 是某一系統的坐標連續表現為一個 t 的函數,那麼 是一個流。更形式地說,流是單參數群在一個集合上的群作用。
向量流的概念,即由一個向量場確定的流,出現於微分拓撲、黎曼流形和李群諸多領域。向量流的特例包括測地流、哈密頓流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。
形式化定義
編輯集合 上的一個流是 在 上的群作用。更準確地,流是一個函數 ,滿足 且和單參數群保持一致:
對所有 屬於 和 。
集合 稱為 在 作用下的軌道。
當空間 有額外的結構(比如 是一個拓撲空間或 )時,流經常要求連續甚至可微。
在許多領域,包括在工程學、物理和常微分方程研究中一般用一個記號明確的表明流。從而
寫成 ,這樣我們可以說「變量 x 取決於時間 t」。事實上,在記號上,有嚴格的等價關係: 。類似地
寫成 ,等等。
例子
編輯流最常見的例子是描述自治常微分方程的解,當方程的解存在且惟一時
可作為初始條件 的函數。這就是,如果以上方程有惟一的解 對任何 ,那麼 定義了一個流。
參考文獻
編輯- D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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