狄利克雷核

D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.

這裡的 $n$ 是任何非負整數。這個核函數的周期是 $2\pi$ 。

應用

狄利克雷核的主要應用是在傅里葉級數中。 $D n (x)$ 與任何以2 $π$ 為周期的函數 $f$ 的卷積，是 $f$ 的第 $n$ 階傅里葉級數逼近，也就是說：

{\begin{aligned}(D_{n}*f)(x)&=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)\left(\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-y)}\right)\,dy=\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{k=-n}^{n}f(y)e^{-iky}\right)e^{ikx}\,dy\\&=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}\end{aligned}}

其中

{\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx

是 $f$ 的第 $k$ 個傅里葉係數。需要特別注意，在傅里葉級數上下文中採用的卷積定義，有時會加上了特有的係數 ${\textstyle {\frac {1}{2\pi }}}$ ，從而將上式表達為：

(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}

核的L¹範數

為了研究傅里葉級數的收斂性質，只需研究相應的狄利克雷核的性質。狄利克雷核的一個重要特徵，是當n趨於正無窮時，D_n的L¹ 範數也趨於正無窮，並且有：

\|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n)

狄利克雷核的缺乏一致收斂性質，是導致很多傅里葉級數發散的原因。比如，運用狄利克雷核與一致有界原理，可以證明連續函數的傅里葉級數甚至不一定逐點收斂。參見傅里葉級數的收斂（英語：Convergence of Fourier series）。

與周期狄拉克δ函數的關係

狄利克雷核是一個周期函數，它在極限情況下會變成像梳子一樣的狄拉克採樣函數（英語：Dirac comb），即周期狄拉克δ函數：

\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)

它採用了角頻率 $\omega =2\pi \xi$ 。

這可以從狄利克雷核在正向和逆向的傅里葉變換下保持自共軛性中推導出來：

{\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \mathrm {comb} _{n}(\xi )

{\mathcal {F}}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}d\xi =D_{n}(2\pi x)

而 $\mathrm {comb} _{n}(x)$ 在 $n\rightarrow \infty$ 時成為了周期 $T=1$ 的狄拉克採樣函數（英語：Dirac comb） $\,\operatorname {\text{Ш}}$ ，它在傅里葉變換下保持不變： ${\textstyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$ 。因此 $D_{n}(2\pi x)$ 在 $n\rightarrow \infty$ 時也必定收斂為 $\,\operatorname {\text{Ш}}$ 。

從另一個角度來說，狄拉克δ函數並不是嚴格意義上的函數，而更普遍的說是一個「廣義函數」，或者說「分布」。將∆(x)視為是周期為2π的卷積運算的單位元，即對於2π為周期的函數f，有：

f*(\Delta )=f

這個「函數」的傅立葉級數為：

\Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).

於是，作為此級數的一個部分和，狄利克雷核可以看作「逼近單位元（英語：Approximate identity）」。然而，它甚至不是「正元素」的逼近單位元，因此會有逐點收斂失敗的情況。

三角恆等式的證明

上文中的三角恆等式

\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}

可以用等比數列的求和公式得到：首先

\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.

因此有：

\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.

在式中將分子和分母各乘 r^−1/2，便有：

{\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.

當r = e^ix 時就有：

\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}

等式當 $e^{ix}\neq 1$ 時，即對於不是 $2\pi$ 整數倍的x 成立。

對於為 $2\pi$ 整數倍的x，由於 ${\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$ 在對應點的極限是2n+1

\lim \limits _{x\to 2k\pi }{\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}=2n+1

因此可以將表達式延伸為連續函數，使得等式對任意x都成立。