矩陣多項式

提示：此條目頁的主題不是多項式矩陣。

矩陣多項式是數學中矩陣論里的概念，指由方塊矩陣作為不定元的多項式，或由方塊矩陣作為變量的多項式函數。

定義

給定自然數n、係數環$\mathbf {R}$以及n階方塊矩陣A，一個關於矩陣A的d次的矩陣多項式通常寫作：

$P(A)=\alpha _{0}\mathbf {I} _{n}+\alpha _{1}A+\alpha _{2}A^{2}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}A^{i}$

其中的$\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{d}$都是係數環$\mathbf {R}$中的元素。這其實是可以看作將$\mathbf {R} [\lambda ]$中的多項式：

$P(\lambda )=\alpha _{0}+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{2}\lambda ^{2}+\cdots +\alpha _{d}\lambda ^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}\lambda ^{i}$

中的不定元$\lambda$換成了一個n階方塊矩陣A後得到的結果。P(A)和A一樣，也是一個n階方塊矩陣。

性質

給定一個n階方塊矩陣A，如果一個非零多項式$f\in \mathbf {R} [\lambda ]$滿足：$f(A)=0$，則稱多項式f是矩陣A的零化多項式。根據開萊－哈密爾頓定理，特徵多項式$\Pi _{A}(\lambda )$滿足$\Pi _{A}(A)=0$，所以$\Pi _{A}$是一個零化多項式。所有零化多項式中次數最低的稱為A的最小多項式，記作$\pi _{A}$。所有關於A的矩陣多項式Q都可以通過最小多項式化簡為一個次數嚴格小於$\pi _{A}$的多項式。事實上，存在多項式$Q,\;R\;\in \mathbf {R} [\lambda ]$，使得：

$P=Q\pi _{A}+R$

並且其中R的次數嚴格小於$\pi _{A}$的次數。所以：

$P(A)=Q(A)\pi _{A}(A)+R(A)=Q(A)\cdot 0+R(A)=R(A).$